高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数学案新人教B版必修1

3.3 幂函数

1α学习目标 1.理解幂函数的概念.2.掌握y＝x(α＝－1，，1,2,3)的图象与性质.3.理解

2和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．

知识点一 幂函数的概念

12

思考 y＝，y＝x，y＝x三个函数有什么共同特征？

x

梳理 一般地，形如________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质

12－13

1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝x；(5)y＝x的图

2象如图．

2．五个幂函数的性质

定义域 值域 奇偶性 y＝x y＝x2 在[0，＋∞) 上y＝x3 y＝x 12y＝x－1 在(0，＋∞) 上单调性 增 ____，在(－∞，0]上____ ____，在(－∞，0)上____

知识点三 一般幂函数的图象特征

1

思考 类比y＝x的图象和性质，研究y＝x的图象与性质．

梳理 一般幂函数特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点________；

(2)α>0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是____函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象________； (3)______时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；

(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列．

35

类型一 幂函数的概念 例1 已知y＝(m＋2m－2)x

反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x，y＝(2x)，y＝??

?2?

4

2

3

2

m2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

?x?

都不是幂函数．

2

122

跟踪训练1 在函数y＝2，y＝2x，y＝x＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )

xA．0 B．1 C．2 D．3 类型二 幂函数的图象及应用

1

例2 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x4为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

若对于例2中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝???

fx??

gx试画出h(x)的图象．

，fx≤gx，，fx>gx，

3

反思与感悟 注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释．这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式和方程，是以后常用的方法．

跟踪训练2 幂函数y＝x(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝x，y＝x的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于( )

αβα

A．1 C．3

类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小

B．2 D．无法确定

?2??2??2?例3 设a＝??3，b＝??3，c＝??3，则a，b，c的大小关系是( )

?3??3??5?

A．a>b>c C．b>c>a

B．b>a>c D．c>b>a

212反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．

跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：

?2?0.3?1?0.3

(1)??与??； ?5??3??2?－1?3?－1

(2)?－?与?－?； ?3??5??2?0.3

(3)??与(0.3)5. ?5?

4

2