【中考优选】北师大初中数学中考总复习：数与式综合复习--知识讲解(提高).doc

(a?b)2?a2?2ab?b2．

④零和负整数指数：在a?a?amnm?n(a≠0，m，n都是正整数)中，当m＝n时，规定a?1；

?p0当m＜n时，如m-n＝-p(p是正整数)，规定a?1． pa7．因式分解

（1）因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：

①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没

有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．

②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简．

（2）因式分解的方法

①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

②运用公式法：a?b?(a?b)(a?b)；a?2ab?b?(a?b)；

③十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)．

④运用求根公式法：若ax?bx?c?0(a?0)的两个根是x1、x2， 则有：ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2).

（3）因式分解的步骤

①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；

②考虑所给多项式是否能用公式法分解． 要点诠释：

因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式

（1）分式的概念 形如

22222222A的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零． B （2）分式的基本性质

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

AA?MAA?M，?．(其中M是不等于零的整式) ?BB?MBB?M要点诠释：

分式有意义?分母≠0； 分式无意义?分母=0；

?分子=0，分式值为0 ??

分母≠0.?分式值为1???分子=分母，

?分母≠0.分式值为正?分子、分母同号. 分式值为负?分子、分母异号. （3）分式的运算

5

①加减法：

aba?bacad?bc，??． ??cccbdbdacac②乘法：g?．

bdbdacadad③除法：??g?．

bdbcbcnan?a?④乘方：???n（n为正整数）．

?b?b要点诠释：

解分式方程的注意事项：

（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题．

【典型例题】

类型一、实数的概念、运算及因式分解

1．在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示．化简：|a-b|+|a-c|-|b+c|．

【思路点拨】通过观察数轴得到a、b、c的符号，通过确定绝对值里的式子的符号，来去掉绝对值符号.

【答案与解析】

由上图可得b＜c＜0＜a，

∴ a-b＞0，a-c＞0，b+c＜0．

∴ |a-b|+|a-c|-|b+c|＝(a-b)+(a-c)-(-b-c)＝2a．

【总结升华】由绝对值的定义我们知道：

如果m＞0，那么|m|＝m；如果m＜0，那么|m|＝-m；如果m＝0，那么|m|＝0．

要去掉绝对值符号，首先要弄清m的值是正、是负，还是零．

举一反三：

【变式】阅读下面的材料，回答问题：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1，AB?OB?b?a?b；当A、B两点都不在原点时：

6

（1）如图1-2，点A、B都在原点的右边，AB?OB?OA?b?a?b?a?a?b；

O（A） 0

图1-1

O 0

A a 图1-2

（2）如图1-3，点A、B都在原点的左边， AB?OB?OA?b?a??b?(?a)?a?b?a?b； （3）如图1-4，点A、B在原点的两边，AB?OA?OB?a?b?a?(?b)?a?b?a?b．

B b

图1-3

B b

O 0

图1-4

综上，数轴上A、B两点之间的距离AB?a?b．

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ．

（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ．如果AB?2，那么x= ． 【答案】（1）3，3，4；（2）x?1或x??3．

依据阅读材料，所获得的结论为AB?a?b，结合各问题分别代入求解． （1）2?5?3,?2?(?5)?3,1?(?3)?4；（2）AB?x?(?1)?x?1； 因为AB?2，所以x?1?2，所以x?1?2或x?1??2．所以x?1或x??3．

2．（2014春?当涂县校级期中）分解因式．

2243

（1）﹣18xy+9x﹣6xy．

22

（2）1﹣m﹣n+2mn．

23

（3）﹣a+2a﹣a．

【思路点拨】如果多项式各项含有公因式，就先提出这个公因式，再进一步分解因式．分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 【答案与解析】

2243222

解：（1）﹣18xy+9x﹣6xy=﹣3x（6y﹣3x+2xy）；

222

（2）1﹣m﹣n+2mn=1﹣（m﹣n）=（1+m﹣n）（1﹣m+n）；

2322

（3）﹣a+2a﹣a=﹣a（1﹣2a+a）=﹣a（1﹣a）． 【总结升华】

(1)如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出负号，使括号内的第一项系数是正数，以便于观

A a

O 0

A a B b

B b

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察是否可以进一步分解因式．

(2)在提取公因式时，一是要真确确定公因式，二是要注意一步到位；分解因式一定要彻底．

举一反三：

【变式】分解因式：1?2a?a?b= ．

【答案】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分

组，

本题应采用一三分组法进行分解．

原式?(1?2a?a)?b?(1?a)?b?(1?a?b)(1?a?b)．

222222类型二、分式的有关运算

111，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两234111111111个不同的单位分数的和，如??，??，??，…

23634124520111（1）根据对上述式子的观察，你会发现??，请写出□，○所表示的数；

5W?111（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝?，请写出△，⊙所表示的式，并加

n?e3．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如

以验证．

【思路点拨】等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左

边的分母为n，则右边第一个分母为（n＋1），第二个分母为n（n＋1）．

【答案与解析】

（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为n?1，⊙表示的式为n(n?1)．

n?1111n1?????验证：，所以上述结论成立．

n?1n(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)n【总结升华】通过对三组式子的观察，不难找出规律． 举一反三：

【变式】若0＜x＜1，则x、、x2的大小关系是( )．

A．

1x11?x?x2 B．x??x2 xx11 D．?x2?x

xxC．x2?x?【答案】C.

4．计算?x?1?x?4?x?2?g(2?x)2． ??22x?x?2xx?4x?4?【思路点拨】在进行分式的四则运算时，一定要注意按运算顺序进行，并注意结合题目的具体情况及

时化简，以便简化运算过程． 【答案与解析】

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