高三数学一轮基础巩固 第11章 第4节《数学归纳法 理》（含解析）新人教B版

kk＋1k－1

即Tk＝成立 3那么，当n＝k＋1时， k左边＝Tk＋bk＋1＝＝k(k＋1)＝

k＋1

3k－1

kk＋1k－1

＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) 3

k＋2?k－1＋1?＝kk＋1

3?3?

k＋1[k＋1＋1][k＋1－1]

＝右边． 3

nn＋1

3

n－1

故当n＝k＋1时，等式成立． 综上①②，当n≥2时，Tn＝

. 13．(2013·北京房山摸底)已知曲线C：y2＝2x(y≥0)，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，An(xn，yn)，…

是曲线C上的点，且满足0

(3)令bi＝ai，ci＝

nn2－yi

，是否存在正整数N，当n≥N时，都有?bi

i＝1i＝1

出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．

[解析] (1)∵△B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B0A1的方程为y＝x.

y＝x，??

由?y2＝2x，得x1＝y1＝2，即点A1的坐标为(2,2)，进而得B1(4,0)． ??y>0，

(2)根据△Bn－1AnBn和△BnAn＋1Bn＋1分别是以An和An＋1为直角顶点的等腰直角三角形

??an＝xn＋yn，可得?

?an＝xn＋1－yn＋1，?

即xn＋yn＝xn＋1－yn＋1.(*)

∵An和An＋1均在曲线C：y2＝2x(y≥0)上， ∴y2n＝2xn，y2n＋1＝2xn＋1.

y2n＋1y2n

∴xn＝2，xn＋1＝2，代入(*)式得y2n＋1－y2n＝2(yn＋1＋yn)． ∴yn＋1－yn＝2(n∈N*)．

∴数列{yn}是以y1＝2为首项，2为公差的等差数列． ∴其通项公式为yn＝2n(n∈N*)． y2n

(3)由(2)可知，xn＝2＝2n2， ∴an＝xn＋yn＝2n(n＋1)． 1

∴bi＝，ci＝2ii＋1

2－yi1

＝， 22i＋1

111

∴?bi＝21×2＋22×3＋…＋

2nn＋1

i＝1

111111＝2(1－2＋2－3＋…＋n－)

n＋111＝2(1－)，

n＋1n

1

1

1

14＝11－2n11－2

n

i＝1

?ci＝22＋23＋…＋2n＋1

11＝2(1－2n)．

1111

bi－ci＝(1－)－(1－??2n＋122n) i＝1i＝1

n＋1－2n111

＝2(2n－)＝.

n＋12n＋1n＋1

当n＝1时，b1＝c1不符合题意，当n＝2时b2

i＝1i＝1观察知，欲证(*)式成立，只需证明n≥2时，n＋1≤2n. 以下用数学归纳法证明，

①当n＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边； ②假设n＝k(k≥2)时，k＋1<2k，当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1)＋1<2k＋1<2k＋2k＝2k＋1＝右边． ∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n＋1<2n， 即?bi

综上，满足题意的N的最小值为2.

14．(2014·重庆理，22)设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N*)． (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；

(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n

再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.

从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an－1)2＝n－1，即an＝n－1＋1(n∈N*)． (2)设f(x)＝x－12＋1－1，则an＋1＝f(an)．

1

令c＝f(c)，即c＝c－12＋1－1，解得c＝4. 下面用数学归纳法证明a2n

n

n

n

n

n

n

1

当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<4

假设n＝k时结论成立，即a2k

c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)

故c

综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝4.