2020年中考数学复习冲刺几何提升----第10讲胡不归最值模型

中考数学几何模型10：胡不归最值模型

名师点睛

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆． 【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

BV1V1驿道砂石地AV2C

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1

ACBC的值最小． ?V2V1BV1MNAV2C

【问题分析】

?VVACBC1??=?BC?1AC?，记k?1，即求BC+kAC的最小值． V2V1V1?V2V2?【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，即

CH?k，CH=kAC． AC

BMsinα=ACHACα=kHCNDCH=kAC

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

BMAαHCND

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

典题探究 启迪思维 探究重点

例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD?的最小值是_______．

A5BD5AAEDBCHEDHDEBCBC

【分析】本题关键在于处理“55，故作DHBD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin?ABE555BD．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时5⊥AB交AB于H点，则DH?CD?DH?CH?BE?45．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

AEDBCsinα=αBHDCE55

变式练习>>>

1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB?小值等于________．

DPM3PD的最2CDHMHPCDPCABABAB

【分析】考虑如何构造“即可得PH?33，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，PD”，已知∠A=60°

223PD，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最2小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．

例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，

∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，

作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．

∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，

在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，

根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM， ∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°， 在Rt△OBM中，

∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB?sin60°＝故选：B．

变式练习>>>

2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2则BC＝ ﹣ ．

，

，∴DB+OD的最小值为

，

【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM． ∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，

∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB， ∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°， ∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG， ∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，

∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长， ∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2， ∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2， 作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝∴BC＝故答案为

例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 （0，

） ．

﹣

＝．

＝

，CN＝2﹣﹣

．

，