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数列求通项公式专题 姓名:
题型分类
题型一 归纳法
寻找规律得到通项公式,常见情况:①正负交替,处理方法: ; ②分数,处理方法: ;③与9,99,999,…相关,处理方法: . 例1、根据下面各个数列的前几项,写出数列的一个通项公式. (1)?1,7,?13,19,……;
1925,2,,8,,……; 2222468(3),,,,……;
3153563(2)
(4)5,55,555,5555,…….
题型二、公式法:对等差、等比两种特殊数列,经常用待定系数法,求出a1、d(q),从而得数列的通项公式。
例2:若{an}是等比数列,a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,求an
题型三 、叠加法:适用递推公式an?1?an?f(n)注:当f(n)为常数时,数列{an}为等差数列. 例3、已知数列{an}满足an?1?an?n,n∈N+.且a1?2,求通项公式.
变式1已知a1?0,an?1?an?(2n?1),n∈N+求a n. 变式2已知a1=1,an+1-an=2n,n∈N*,求a n.
1
题型四、叠乘法:适用递推公式
an?1?f(n) 注:当f(n)为非零常数时,数列{an}为等比数列. an例4、已知数列{an}满足a1?1,nan?1?(n?1)an?0,n∈N+.求通项公式an.
变式练习、已知{an}满足:a1?1,2n?1an?an?1(n?2 n∈N+.),求通项公式.
题型五、由Sn和an的关系求an:(注意化归思想的运用,化归到等差或等比两种特殊数列) 例5、(1)已知{an}前n项和为Sn?3n2?2n,n∈N+.求通项公式an?____________
(2)Sn=3n+b. n∈N+.
变式练习、(1)已知数列{an}前n项和为Sn?2n?3n?1 n∈N+.求通项公式.
(2)数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N+,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=_____.
2
2
21
例6、(1)若数列{an}的前n项和Sn=an+,n∈N+.则{an}的通项公式是an=_____.
33
(2)在数列{an}中,已知a1=1,an=2(an-1+an-2+…+a2+a1) (n≥2,n∈N+),求an.
变式练习 (1)已知{an}的前n项和为Sn,且a1?1,an?1?
n+2
(2)在数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=a. n∈N+. 求an.
3n
题型六、构造新数列
①已知an?1?pan?q,求an;思考:当p=1时,如何?当q=0且p为非零常数时,如何? 例 数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,n∈N+. 求a n.
3
1Sn,n∈N+.求an. 3
练习:已知a1=1,an+1=2an+1,n∈N*,求a n.
②已知an?1?pan?qn,求an;思考:当p=1时,如何? 例、 an?1?2an?2n,a1?2,求?an?的通项公式
③已知panan?1?q(an?an?1),求an.
例、 2anan?1?an?an?1,a1?1,求?an?的通项公式
.
④形如an+1=pan+q an-1 (p、q为常数,n∈N*且n≥2)
例:已知a1=1,a2=3,an+1=3an-2 an-1,n∈N*且n≥2,求a n.
(选做题)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N+.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,n∈N+,求a的取值范围.
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