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此题判定三角形全等时，也有两个直接条件，一个间接条件，但间接条件要先转化成直接条件，然后再用于判定之中，书写格式也与上题不同。
例3．(把例2中△CDF绕BD向下翻折而成)已知：如图55，B，E，F，D在一直线上，AB＝CD，BF=DE，∠B＝∠D。 求证：AE∥CF。
此题中条件及判定过程与例2相同，但结论递进了一步，因而既要判定三角形的全等，又要用全等三角形的性质。
例4．仅将例3中条件“∠B＝∠D”改为AB∥CD，其他不变。这样判定三角形全等时就只有一个直接条件，而有两个间接条件(且均需先证后用)，结论又是证三角形全等后再递进一步的。
把图55中△CDF沿着DB平移，使点F与点E重合，此时图形回覆到图53，继而把∠CDF沿着EA向上平移，使点F与点A重合，便得下题：
例5．已知：如图56，AB∥CD，AB＝CD。求证：AD＝BC，AD∥BC。
例6．擦去例5的图56中的线段AC，其他不变，例6便成了需要添辅助线的问题。 如有可能，教师不妨把例6概括为一个文字命题：“如果四边形的一组对边平行且相等，那么另一组对边也平行且相等”。并由此过渡到“等腰三角形顶角平分线垂直底边且平分底边”等文字命题的证明。
最后，必须指出的是，上述设计只是力求说明“多层次”进行推理教学的想法，其具体内容不一定也不可能完全适用于各类教学班。事实上，“多层次”进行推理教学的主旨正在于从学生实际出发，设计切实可行的教学方案。
2．在“早渗透，多层次”地进行演绎(顺向）推理训练，使学生初步学会综合法论证的同时，必须注意“执果索因”(逆向)的分析法思想的渗透。
综合与分析这两种直接论证的方法常常是不可分割的。但是，“分析”作为一种逆向思维能力来培养，一般要比“综合(顺向思维)慢一步，在平面几何入门阶段，“分析”的渗透性训练大体上有以下几个层次。
(1) 分析法思想的早期渗透，首先体现在概念的形成与辨析之中，也反映在运用概念进行的判断之中。比如，在比较图57中各个图形的异同以后，判断图57——(3)中的∠AOC与∠BOD是对顶角，就隐含着分析的思想方法。
课本在由公理“同位角相等，两直线平行”出发，推证“平行线判定2，3”时，第一次正式渗透了分析的思想方法。课本第53页写了如下的一段话(参阅图58)：
“由同位角∠1=∠2，就可以推出AB∥ CD。所以只要找出在什么情形下，∠1＝∠2就可以了。”
若把这段话改用符号语言叙述，便成如下形式： ∵_________________， ∴∠1＝∠ 2，
∴AB∥CD。
不难看出，这就是“执果素因”的分析法。对此，教学中应细心体会并予以充分重视。
事实上，课本早在“同位角、内错角、同旁内角”一节中，已精心编排了这样的例题： “如图59，直线DE，BC被AB所截，如果∠l=∠4，那么∠1和∠2相等吗?”
教学中可把此题改为“∠1与∠2的大小有什么关系时，就有∠1＝∠4”，并写出如下的形式，让学生填空练习： ∵∠1____∠2(已知)， ∠4=∠2( )， ∴∠1＝∠4( )。
这与课本第53页的分析就可以更好地衔接，为分析法思想的首次渗透铺平道路。
此外，配合平行线判定和性质的教学，课本在习题四第12题中编排了这类“执果索因”的练习，也应值得重视。 必须指出，这一阶段仅仅是开始渗透分析法的思想，教学中宜采用“教者有心，学者无意”的方式，不必正式提出“分析法”的名称，更不应要求学生都能掌握这种方法。这一阶段学生顺向演绎推理尚未过关，若过早进行分析法的系统训练，有可能使学生的思维产生混乱。 (2) 在“三角形全等的判定”的教学中，应逐步把综合法与分析法结合起来，从教师指导、示范分析向以学生为主进行分析过渡。
从这一大节的教学内容以及对学生进行技能训练的要求看，如前所述，综合法演绎推理论证要初步过关，这里又提出了分析法要有一个“过渡”，教学任务确是较重的。但是，考虑到这一大节教学时间较长(将持续约三周)，结合“三角形全等的判定”进行分析时，思路又比较单一，即逆向寻求解题途径时“叉路口”比较少，学生易于掌握分析的思想方法；同时，紧接着将进行的“等腰三角形”的教学又要求学生初步掌握分析的方法。所以，在“三角形全等的判定”的教学中，集中进行分析法的渗透教学是必要的，也是可能的。
当然，这种分析法的渗透性教学仍应有层次地进行。比如，首先可以配合三角形全等的四种判定，让学生完成如下一类填空练习(空格处有多少种不同的填法就写多少种)。
如图60，AB，CD相交于点O，在△AOD和△BOC中， AO＝BO(已知)，
∠AOD＝∠B0C( )， ____________(已知)， ∴△AOD=△BOC( )。
如图61，B，E，C，F在一直结上，在△ABC与△DEF中， BC＝EF(已知)， ∠A＝∠D(己知)， ___________(已知)， ∴△ABC=△DEF。
这种训练既能帮助学生熟悉基本定理，又渗透了分析法的思想方法。
其次，教师可结合课本例题给出示范的分析，并把它与课本的综合法证明相对照。通过多次示范，让学生从模仿向自己尝试分析过渡，从而帮助学生逐步了解分析的方法，同时提高他们演绎推理论证的条理性和逻辑性。 在“全等三角形的判定”教学的后阶段，则可以给出论证题，要求学生写出“证明”或“分析”。例如：
已知：如图62，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O， AB＝AC，∠
B＝∠C。
求证：OB＝OC。
分析： OB＝OC
↑
△OBD≌△OCE
____________↑_____________
∠B=∠C ∠BOD=∠COE BD=CE （已知）（对顶角相等）_____↑_____ AB=AC AD=AE （已知） ↑
△ADC≌△AEB
__________ ↑______________ AB=AC ∠B=∠C ∠A=∠A
（已知） （已知） （公共角）
(3)从“等腰三角形”开始，证题的方法将越来越多样化。同时考虑到此时学生已在“三角形全等的判定”中初步学会了综合法论证，所以论证教学可逐步加大分析法的份量。要引导学生学会“要(证)什么，就要有什么(条件）；缺什么找什么，靠拢已知条件(题设及定义、公理、定理等)”的方法，从结论出发，逆推寻找使结论成立的充分条件，直至追索到已知条件，寻得论证的途径。
比如，结合课本习题八第18题，可引导学生通过分折，探求多种证法，并从中择优(下面仅列出最优方法)：
已知：如图63，点D，E在BC上，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠C。 求证：AD＝AE。 分析： AD=AE ↑
∠ADE=∠AED
____________↑__________ ∠BAD=∠CAE ∠B=∠C （已知） （已知）
类似地,图62所示的论题，在教学了“等腰三角形”后，可重新简化分析的过程如下：
连结BC，于是 OB＝OC ↑
∠OBC＝∠OCB
______________↑______________ ∠ABE＝∠ACD ∠ABC＝∠ACB (已知) ↑ AB＝AC (已知) 分析与综合都是论证的重要方法。综合法便于叙述论证过程，但有时难于找出论证的方向；分析法易于探求论证的途径，但叙述繁琐。所以，在实际论证教学中，应把两者有机地结合起来，不可偏废。要使学生既注重分析，又要会综合，还要会联合运用这两种方法去思考和论证。比如：
已知：如图64，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点。 求证：BH＝AC。
一般地，此题的思考过程如下：
分析法 综合法
BH＝AC ∠ADB＝90°，∠ABC＝45° ↑ ↓
△BHD≌△ACD △ABD为等腰直角三角形 _____________↑_______________ ↓ ∠BDH=∠ADC ∠HDB=∠CAD (?) BD=AD =Rt∠ ↑ ↑______∣
∠HBD十∠C=∠CAD十∠C＝90°
在以上1，2两部分中，我们仅对几何入门阶段综合法(三段论证的演绎推理论证)和分析法的渗透教学提出了一些设想。事实上，这两种直接论证的教学决非短期内可以完成，应在后续的教学中不断地训练，才能使学生真正掌握。 3．关于反证法的渗透性教学。
反证法是一种间接论证的方法，由证明反论题之假来确定原论题之真的证明方法。也就
是说，证明反论题“若A则B”为假，便能肯定原论题“若A则B”为真。反证法的理论根据是形式逻辑的排中律，即“同一对象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质，或者不具有某种性质，两者必居其一，不能有第三种情形”。 在现行中学数学教材中，“反证法”是首先编排在初中《几何》课本里的。为了使学生能在中学数学的学习中初步掌握反证法，我们有必要来研究“反证法”教学的特点。 反证法作为一种科学的论证方法，与逻辑知识有着密切的联系，因此掌握这种方法需要一定的逻辑推理能力；反证法又是一种间接论证的方法，掌握它需要形成与直接论证不同的思维方法，初中学生的认知结构和思维能力尚不能完全适应这些要求；同时，反证法在中学数学各分支学科中都有着广泛的应用，运用它进行论证(特别是在“归谬”过程中)将涉及很多知识，因而反证法的教学必然是—个长期的过程，这与学生可以在较短时间内掌握某些简单知识的教学过程是不相同的。因此，我们认为反证法的教学应有如下的特点：在正式讲授这种方法之前，要尽可能多地反复渗透，力求使学生对这种方法有一定的感性认识和粗浅的了解，然后在适当的时机结合某个教学内容(如《几何》第二册“圆的内接四边形”)正式介绍这种方法，使学生对它的基本思想和论证形式有较清晰而正确的认识；此后，对反证法进一步在理论上加以完善、深化，在应用中使学生真正掌握。
现行中学数学教材正是根据反证法教学的这种特点精心编排的。明确了教材的体系及其意图，我们既能把握好反证法教学在各个不同阶段的具体要求。比如，《几何》课本第一册中已编排了许多运用反证法说理、证明的内容。但从反证法教学的全过程看，这些都是渗透性的。渗透性教学的最根本的特点就是教学要求有很大的弹性，即能有多一点的学生懂，懂得多一点最好，学生暂时不懂也不要急于求成。如果不是这样“留有余地”地进行教学，而不切实际地要求学生在初二年级都能掌握反证法，就会操之过急，使师生双方产生过分的焦虑。这样，不仅不能取得好的教学效果，而且会使学生产生畏难或畏惧心理，丧失学习信心，这是不可取的。 下面我们结合平面几何入门阶段的教学内容，谈谈如何进行反证法的渗透性教学。 (1)以实例引导，注重反证法的首次渗透。
《几何》课本第一册，在证明“两条直线相交，只有一个交点”时，首次渗透了反证法。这时，学生刚刚开始学习平面几何，连三段论证尚未见过，当然不应要求学生掌握反证法。
反证法作为一种科学的论证方法是严密的、抽象的。但是，日常生活中用反证法的思想说理是屡见不鲜的。因此，教学中应以实例引导。比如，节假日前夕，在办公室的门窗上贴上封条，假日后检查封条都没有被撕破、便可断定假日里没有人进入办公室。人们对这种判断习以为常，从未去深究理由。其实，这种判断就是不自觉地运用了反证法。教学中，可用此实例与“两条直线相交，只有一个交点”的说理过程进行对比。见表四： 有“两条直线相交，只有一个交点。” “放假前在办公室门窗上贴上封条，待假期后封条没有被撕破，所以假期里说没有人进入办公室。” 理的事实 说 假如两直线相交有两个交点，那么假如假期里有人进入过办公室，那么理 经过两点就有两条直线。 封条要被撕破。 的 这与“经过两点只有一条直线”是这与“封条没有被撕破”的事实是不过 不符合的。 相符合的。 程 所以“两条直线相交有两个交点”所以“假期里有人进入过办公室”是是不可能的。 不可能的。 所以“两条直线相交，只有一个交所以“假期里没有人进入过办公室。
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