平面几何入门教学

AC便是两圆的连心线，BD为公共弦。此命题即为定理“两圆相交，连心线垂直平分公共弦”，可以直接应用，无须再加证明。

这样引导学生体会：随着知识的深化，同一个问题的证法也不断地优化，因而必须不断地打破旧有的思维模式，学会越来越好的新方法。这也正是克服思维定势消极作用的根本所在。

教学实践反复证明，“证三角形全等”的思维定势是很顽固的。因而除了上述这种“多解择优”的训练外，必要时还可采用强制性的措施，以强迫学生打破这种思维定势，克服其消极作用。 比如，“三角形全等的判定”以后的有关内容的教学中，要求学生不利用“判定三角形全等”的方法证明下列各题：

①“一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”。

②已知：如图81，AD=AE，∠1=∠2，B，D，E，C在一条直线上。 求证：∠B＝∠C。

③“两条高相等的三角形是等腰三角形”。

(5)练习要讲究科学性，练习的目的不仅在于熟练掌握知识，更重要的在于训练思想方法，发展学生的思维能力。

熟练掌握知识和方法需要一定数量的练习，这是毫无疑义的。但是，过量的重复练习又会使思维定势得到过份的强化，甚至使不正确的思维方式也形成定势，这是十分有害的，比如，“三角形全等”确实是平面几何教学中十分关键的内容，但是训练过量又将给后续教学产生各种消极影响。我们认为，从大面积教学看，“全等三角形”一大节练习的数量不宜过大，课本配备的习题份量较为恰当；相反地，在这种证明方法基本熟练并形成思维定势后，应适当进行打破这种思维定势的训练。既要努力帮助学生形成思维定势，又要及时地帮助他们打破思维定势，这是教学中的辩证观点。

(6)思维定势消极作用的防止和克服，不仅要靠教师纵览平面几何教学的全局，进行各种形式的训练，而且要有学生的自觉。因此，应使学生在思考过程中经常地进行自我评价，不断发展自己思维的批判性。这是使学生自觉地克服思维定势的有效途径。

比如，上文提到的学生在论证图77中ID＝IE时，往往会陷入“证全等三角形”的定势。若学生的思维具有一定的批判性,能进行如下的自我判断：若图77中△AID≌△AIE，那么AD＝AE且又可证明△CDI=△BEI，于是CD＝BE，那就有AB＝AC。显然题设中无此条件，因而证明△AID=△AIE是不可能的，应该另辟新的证明途径。这这样便能从定势中“自拔”，才可能找到正确的证法。

为了提高学生思维的自我评价能力，教学中可以有意识地设置这类诱使学生误入“歧途”的问题，并要求他们能“自拔”，而能否达到这种效果，又在很大程度上依赖于当时教学的特定情境。仍以证明图77中ID＝IE为例，若此题在教学“圆内接四边形的判定”中使用，用“证三角形全等”的方法思考的学生就可能少一些；若此题作为初三几何系统复习“三角形”时使用，则误入“证三角形全等”的歧路的学生便明显增多。这就是课堂教学特定的情境(暗示着学生用什么知识和方法去思考问题)对学生思维的定向作用。教学中尽量减少和排除这种客观的干扰，对于帮助学生克服思维定势的消极作用，发展学生思维的灵活性，有着十分重要的作用。

5．在平面几何教学中，学生的抽象思维不断地得到发展的同时，还常常不够周密、细致，出现思维不缜密的现象。思维的缜密性是思维素质的一个重要标志。因此，不断提高学生思维的缜密性也是思维训练的重要方面。 在平面几何教学中，学生的思维出现不缜密的原因是多种多样的，相应的训练方法也不尽相同。

(1)由于对知识的理解不深，记忆也不完整，因而搞不清它的适用范围，使推理论证中论据不足，甚至胡乱地套用定理。

如图82，已知平行四边形ABCD中，∠1＞∠2，求证∠4＞∠3。 学生错误地证明如下：

∵∠1＞∠2，

∴BC＞CD(大角对大边)。 ∴∠4＞∠5(大边对大角)。 ∵AD∥BC， ∴∠5=∠3。 ∴∠ 4＞∠3。

显然，在由∠l＞∠2?BC＞CD时，没有仔细考虑“大角对大边”的结论仅适用于“同一个三角形中”。

又如，错误地应用SAS定理，在“两边一角分别相等”的条件下，不考虑是否“对应相等”而判定两个三角形全等，更是司空见惯的。纠正学生思维的这种不缜密现象，必须强调完整地记忆定理，不能为了简化记忆而舍本逐末，不顾定理的条件；适当地运用反例，帮助学生准确地理解定理，也是纠正思维不缜密的有效方法。

比如，命题“两角和一边分别相等的两个三角形全等”是真命题吗?实践证明：绝大多数学生错误地作出肯定的回答。事实上，这是一个假命题。图83 (∠B=∠E，∠C＝∠F，BC＝DE) 便是反例。这是因为∠B＝∠E，∠C＝∠F，但BC是∠B，∠C的夹边，DE不是∠E，∠F的夹边，虽然有BC＝DE，但它们不是对应相等。这样学生便能深刻理解“角角边定理”，避免应用这个定理论证时的错误。

(2)由于过多地借助图形直观，又没有进行必要的论证，从而使论据不足，这也是思维不缜密的一种表现。

1 比如图84，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F为BD，AC的中点，求证：EF＝ (BC—AD)。

2学生常常发生如下的错误。

11证法一：作EG∥AD交CD于点G，则G为CD的中点，且EG＝BC。再由FG＝AC，得EF

221＝EG一FG＝ (BC—AD)。显然，这里没有先证明EG∥BC，推断“G是CD的中点”的理由不

2充分。同时，又未证明E，F，G三点在一直线上。

11 证法二：作FG∥AD交CD于点G，则G为CD的中点，且FG＝AD。再由EG＝BC，得EF

221＝EG一FG＝(BC-AD)。

2 同样地，这里未证明E，F，G三点共线，论证的依据不足。纠正这类思维不缜密的现象，就必须强调论证中每步都应有依据，不能以直观代替论证。

(3)由于对论题（特别是文字语言叙述的论题)的意义理解不清，因而根据论题画图时，以特殊图形代替一般图形，从而使论证不具有一般性，甚至是错误的。

比如，求证“有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等时，有的学生画出图85，把题设的两个直角三角形拼合在一起。论证Rt△ABD≌Rt△ACD时，又添加了AD＝AD这个条件，而未用原来题设中的条件DE＝DF。 对此，教学中应注重反复讲清特殊与一般的关系，同时还应对这类文字命题加强语言的精确理解和翻译的训练。

(4)由于思维的逻辑错误而导致循环论证，也是思维不缜密的一种表现。

比如，图86中，AB=AC，D是BC延长线上一点，E是AB边上一点，DE交AC于点F，求证AE＜AF。

学生有如下的错误证明：

以E为顶点，EF为一边，作∠FEG，使∠FEG＝∠EFA从而GE＝GF，又AG十GE＞AE所以AE＜AF。

上述证法中，添置的辅助线EG画在∠AEF的内部，并有∠GEF=∠EFA。这实际上默认了∠AEF＞∠AFE，即AE＜AF。因此，这种证明是一种循环论证。这种错误很隐蔽，又涉及到几何论证中借助直观所允许的程度的问题，因而学生往往不能纠正。

防止这类错误的办法是强调“画(指添辅助线）应有据”比如，可引导学生认真阅读课本“在同一个三角形中，大边对大角”的证明过程，并强调指出：在△ABC中，由AB＞AC，证明∠C＞∠B时，必须写明AB＞AC的条件后，才能在AB上截取AD，使AD=AC；没有AB＞AC的条件，就不能断定点D在线段AB上，从而论证就没有依据。

（5)由于学生在思考问题时，常常不自觉地把问题限制在某种情形内，不合理地排斥其他可能的情形，从而造成解题错误或不完整。

比如，对于命题“两边及其中一边上的高相等的三角形全等”，绝大多数学生仅限于考虑图87——（1)（两个三角形是锐角三角形)的情形，从而由Rt△ABD≌Rt△A′B′D′(HL) 得∠B＝∠B′，进而错误地断定这个命题为真。这样思考就排斥了图87——(2)所示的情形，图中的△ABC与△A′BC亦有AB＝A′B，BC＝BC，AD＝A′D′，但△ABC与△A′BC不全等，因而这个命题是假命题。

为帮助学生学会周密地思考问题的各种可能情形，克服以偏概全的思维不缜密现象，在日常教学中应加强分类思想的训练。 比如，“若圆内有两条等弦，则以这两弦的端点为顶点的四边形是什么四边形？” 正确解答这个问随，应考虑以下几种情形：

若两等弦都是直径，那么当它们相交成直角时，该四边形是正方形，当它们相交不成直角时，该四边形是矩形。

若两等弦都是非直径的弦，那么当它们相交成直角时，该四边形是等腰梯形，当它们相交不成直角时，该四边形仍是等腰梯形，当它们平行时，该四边形是矩形。