2019年高考数学真题及答案(含全国1卷,全国2卷,全国3卷共3套)

若不存在，说明理由.

1x221．已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

22（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，

5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,?4??)，D(2,?)，弧AB，BC，CD所在圆4的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD. （1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

?2（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|?3，求P的极坐标.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设x,y,z?R，且x?y?z?1.

222（1）求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值；

（2）若(x?2)?(y?1)?(z?a)?2221成立，证明：a??3或a??1. 3

33

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学·参考答案

一、选择题 1．A

2．D

3．C

4．A

5．C

6．D

7．B

8．B

9．C

10．A

二、填空题

13．

23 14．4 15．(3,15) 16．118.8

三、解答题

17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

18．解：（1）由题设及正弦定理得sinAsinA?C2?sinBsinA． 34

11．C

12．D

因为sinA?0，所以sinA?C?sinB． 2A?CBBBB?cos，故cos?2sincos． 22222由A?B?C?180，可得sin?因为cosBB1?0，故sin?，因此B=60°． 2223a． 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC??csinAsin?120?C?31由正弦定理得a????．

sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0°

1?a?2，2从而

33?S△ABC?． 82?33?因此，△ABC面积的取值范围是??8,2??．

??19．解：（1）由已知得AD

四点共面．

由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC?平面BCGE．

（2）作EH?BC，垂足为H．因为EH?平面BCGE，平面BCGE?平面ABC，所以EH?平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．

BE，CG

BE，所以AD

CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D

以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，

35

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，–1，0）． 设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

??x?3z?0,?CG?n?0,?即 ????2x?y?0.?AC?n?0,?所以可取n=（3，6，–3）．

又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以cos?n,m??n?m3． ?|n||m|2因此二面角B–CG–A的大小为30°． 20. 解：（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)．

2令f?(x)?0，得x=0或x?a. 3?a??a???,?时，f?(x)?0；当x??0,?时，f?(x)?0．故f(x)在?3??3?若a>0，则当x?(??,0)??a??a?(??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减；

?3??3?若a=0，f(x)在(??,??)单调递增；

若a<0，则当x????,??a??3??a?(0,??)时，f?(x)?0；当x??,0?时，f?(x)?0．故f(x)在

?3? 36