2019年高考数学真题及答案(含全国1卷,全国2卷,全国3卷共3套)

18．解：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME=

1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=

由题设知A1B1?DC，可得B1C?A1D，故ME?ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则

A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，

A1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．

??m?A1M?0设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?，

??m?A1A?0 9

???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．

?4z?0．????n?MN?0， 设n?(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则???n?A1N?0．??3q?0，?可取n?(2,0,?1)．

???p?2r?0．所以?于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．

22?4?3?y?x?t12(t?1)?22由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则x1?x2??． 292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 92837x?． 28所以l的方程为y?（2）由AP?3PB可得y1??3y2．

3??y?x?t2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x

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所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3．

代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x当x???1,?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(0)?0,g'()?0g'(x)g'(x)???有唯一零点，

22?2??设为?.

则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大值点，

2??2?????即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.

2??（2）f(x)的定义域为(?1,??).

（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.

??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而f'(0)=0，

22?????????????f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，f'(x)?0；当x???,??2??2??2?

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???时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减.

?2?????????????

又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x)在?0,?

?2??2??2??2?

没有零点.

??????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而

?2??2????所以f(x)在?,??有唯一零点.

?2????f???0，f(?)?0，?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.

21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.

P(X??1)?(1??)?， P(X?0)????(1??)(1??)，P(X?1)??(1??)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1.

因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即

pi?1?pi?4?pi?pi?1?.

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