等腰三角形的性质和判定 - --新思维

角形；梯形中位线定理．菁优网版权所有 专题： 分析： 压轴题． ①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=； ②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a+b≥2ab（a=b时取等号）解答； ③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形22

的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答． 解答： 解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ∴AB=BC，CD=DE， ∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°， ∴∠ACE=90°； ∵△ABC∽△CDE ∴== ①∴tan∠AEC=， ∴tan∠AEC=；故本选项正确； ②∵S△ABC=a，S△=b，S梯形=（a+b）， 222CDEABDE

∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S=ab， △CDES△ABC+S△CDE=（a+b）≥ab（a=b时取等号）， ∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确； ④过点M作MN垂直于BD，垂足为N． ∵点M是AE的中点， 则MN为梯形中位线， ∴N为中点， ∴△BMD为等腰三角形， ∴BM=DM；故本选项正确； ③又MN=（AB+ED）=（BC+CD）， ∴∠BMD=90°， 即BM⊥DM；故本选项正确． 故选D． 22

点评： 本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

二．填空题（共12小题）

12．（2006?沈阳）已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是 36°或45° ． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁