第二十二章 二次函数 知识点总结

第二十二章二次函数知识点总结

【考点一】二次函数的概念和图像

1、二次函数的定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。

其中，y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数

的性质

（3）|a|越大，抛物线的开口越小 3、

4、二次函数（1）

（2）

5、求抛物线的顶点、对称轴的方法

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以连线的垂直平分线是抛物

线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

6、二次函数图像的画法——五点法

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

2的图像

附：几种特殊的二次函数的图像特征如下：

【考点二】二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) （2）顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0) （3）

【考点三】二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??22b时，2ay最值4ac?b2?。抛物线开口向上，顶点处取得最小值；开口向下，顶点处取得最大值。

4ab是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?4ac?b2b在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内

2a4a2的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，

如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，当x?x2y最小?ax12?bx1?c；y最大?ax12?bx1?c，

2时，y最小?ax2?bx2?c。

【考点四】二次函数的性质

1、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)的性质：

二次函数

函数

y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0) a>0

a<0

y

0 x

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=?

y

图像

0 x

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=?b， 2ab， 2a4ac?b2b顶点坐标是（?，）；

2a4a（3）在对称轴的左侧，即当x

4ac?b2b顶点坐标是（?，）；

2a4abb时，y随x（3）在对称轴的左侧，即当x

的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>

?b时，y随x的增大而增大，简记左减右2a?b时，y随x的增大而减小，简记左增2a增；

（4）抛物线有最低点，当x=?右减；

bb时，y有最小（4）抛物线有最高点，当x=?时，y有最2a2a大值，y最大值值，y最小值24ac?b2?

4a4ac?b2?

4a2、二次函数y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：

（1）a决定开口方向及开口大小：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下

|a|越大，抛物线开口越小

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)的对称轴是对称轴是x=?

2b 2a

3、二次函数与一元二次方程的关系