庞加莱映射

先对庞加莱映射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，那么根据 轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点

可 以看成前一次穿过的点

的 一种映射

（n=0,1,2,…）

这个映射就叫庞加莱映射。它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究

在庞加莱映射中的不动点反映了相空 间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等

绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔

一个外激励周期（ ） 取一个点，例如取样的时刻可以是t=0,T,2T…相应的相点记为

… 这些离散相点就构成了庞加莱映射

， ，

自激振动

1.实验题目

研究范·德·波耳（Van der pol） 方程

（2.19.1）

所描述的非线性有阻尼的自激振动系统，其中 耳方程为VDP方程

是 一个小的正的参量， 是 常数。下面简称范·德·波

在VDP方程中，增加外驱动力

项 所得到的方程

（2.19.2）

称强迫VDP方程，其中外驱动力的振幅，角频率分别是V和

，试研究强迫VDP方程的行为

2.实验目的和要求

⑴演示VDP方程所描述的系统在非线性能源供给下，从任意初始条件出发都能产生稳 定的周期性运动

⑵采用庞加莱映像，演示强迫VDP方程在不同参数下所存在四种吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子

⑶对于强迫VDP方程，在V和 为 定值条件下，逐渐增大

值， 将出现周期倍分岔和混浊现象

3.解题分析

自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统，在运动过程中伴随有能量损耗，但系统存在一种机制，使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈 调节，及时适量地得到补充，从而产生一个稳定的不衰减的周期运动，这样的振动称为自激振动

对VDP方程，可从机械振动角度理解， 是 阻尼系数，它是变化的，如果 ， 则

阻尼系数为正，系统将受阻尼，能量将逐渐减少，但如果 ， 则发生负阻尼，意味着不仅不消耗

系统的能量，反而给系统提供能量。此系统能通过自动的反馈调节，使得在一个振动过程中，补充的能量正好等于消耗的能量，从 而系统作稳定的周期振动

取方程中的 ， ， （这 些值可适当调整）。给出任一初始条件，通过计算机

数值求解可以证明它的相轨道都将趋向于一条闭合 曲线，这一条闭合曲线，成为极限环，极限环以外的相轨道向里盘旋，而极限环以内的相轨道则向外盘旋，都趋向极限环（如图2.36所示），说明不论初始情况如何，系统最终都到达以极限环描述的周期性运动。由于这段程序较简单，我们没 有专门编写，事实上，

只要将下面编写的关于强迫VDP方程的程序中令V＝0， 现象

再 取不同的初始条件，就能看到这个

下面研究强迫VDP方程的行为，我们同时采用时间历程图，相图，庞加莱映像图来研究系统在不同参数条件下的动力学行为，可以看到存在不同的吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子

先对庞加莱映射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹 用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，那么根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。在截面图上，轨迹下一次 穿过截面的点

可 以看成前一次穿过的点

的 一种映射

（n=0,1,2,…）

这个映射就叫庞加莱映射。它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究

在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，

四倍周期则有四个不动点等

绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔

一个外激励周期（ ） 取一个点，例如取样的时刻可以是t=0,T,2T…相应的相点记为

… 这些离散相点就构成了庞加莱映射

， ，

设 ，

， 则（2.19.2）式可 化为

（2.19.3）

取 ，

， 进行以下数值计算研究

⑴在 ，V＝1， 条 件下，存在周期1吸引子，它的周期等于外激励的周期，代表主

谐波运动，如图2.37所示