高中数学《利用空间向量求空间角》导学案（课前部分）

§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案（课前部分）

编制： 审核：高二数学组

【学习目标】

1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；

2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 【重点、难点】

1、 重点：求解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法。 2、 难点：二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系。

一、【★ 旧知链接】

向量的有关知识：

（1）两向量数量积的定义：

（2）两向量夹角公式：

（3）平面的法向量：

二、【★ 学习探究】

知识点1、异面直线所成的角（范围： ）

设两异面直线a、b的方向向量分别为m和 n， 思考1 当

m ??m a ab′

'o ?a

b′

'o ? ?

?n （1）

b ?n b （2）

?与m和n的夹思考 2 当m与n的夹角大于90°时，异面直线a、b 所成的角

角的关系？cos?与cos?m,n?有什么关系？（如图2）

结论：设两异面直线a、b的方向向量分别为m和n，所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为:cos?

?

典例1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线

AE与CF所成角的余弦值．

m与n的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成的角 ?与m和

n 的夹角的关系？cos?与cos?m,n?有什么关系？ （如图1）

1

知识点2、直线与平面所成的角（范围： ） A A n n ??B ?O ?B O （1）

思考1：如图（1） ?的余角与?AB,n?的关系？cos( ?（2）

2??)与cos

AB,n的关系？

?思考2：如图（2） ?的余角与?AB,n?的关系？cos( 2??)与 cosAB,n的关系？ 结论：直线与平面所成的角的正弦值为sin??

典例2：如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的正弦．

知识点3、二面角 （范围： ）

n1??n2n2???? （1） （2）

思考1：如图（1），?与?n1,n2?的关系？

思考2：如图（2），?与?n1,n2?的关系？

结论：二面角的余弦值cos?与cos?n1,n2?的关系？

典例3：如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．

2

典例4： 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

?CBD?A

由此题你能总结求解二面角的另外一种方法吗？

三、【★ 巩固练习】

1.如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，直线SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：

（1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值； （2）直线OS与平面SAB所成角α的正弦值； （3）二面角B－AS－O的余弦值.

四、【★ 质疑汇总】

1.我的疑惑？ S2.小组合作探究后的疑惑？

OABC

五、【★ 自学总结】 本节课我的收获：

2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1， (1)求二面角C—DE—C1的余弦值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．

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§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案

（课上部分）

【★展示交流问题】

1．课上要解决的问题： 2．展示交流记录： 3．个人评价反思：

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