四阶行列式的一种展开法1

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四阶行列式的一种展开法

笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。

四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下：

四阶行列式：

a11D4?a12a13a23a33a43a14a24 a34a44a21a22a31a32a41a42第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)：

a11

a12a32a13a23a33a43a14 a11a24a34a44a31a12a32a13a23a33a43a21a22a31a41a42a21a22a41a42（图表一）

作乘积关系，可得如下八项：

a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a11,a43a34a21a12,a44a31a22a13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。

a11a31a12a32a13a23a33a43a14a24a34a44a11a31a12a32a13a23a33a43a21a22a41a42a21a22a41a42（图表二）

同前理可得如下八项：

a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a11,a14a32a21a13,a42a31a23a14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。

第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三：

a11a31a12a32a13a23a33a43a14a24a34a44a11a31a12a32a13a23a33a43a21a22a41a42a21a22a41a42 1

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（图表三）

同前理可得如下八项：

a11a24a32a43,a14a22a33a41,a12a23a31a44,a13a21a34a42,a41a34a22a13,a44a32a23a11,a42a33a21a14,a43a31a24a12, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。

综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展开如下： D4=a11a22a33a44-a12a23a34a41+a13a24a31a42-a14a21a32a43+a41a32a23a14-a42a33a24a11

+a43a34a21a12-a44a31a22a13+a11a23a34a42-a13a24a32a41+a14a22a31a43-a12a21a33a44 +a41a33a24a12-a43a34a22a11+a14a32a21a13-a42a31a23a14+a11a24a32a43-a14a22a33a41 +a12a23a31a44-a13a21a34a42+a41a34a22a13-a44a32a23a11+a42a33a21a14-a43a31a24a12 四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。 下面将从三个方面进行证明。 证明：

一、前述展开四阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个元素取自不同的排列。由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每项的元素绝对不会相同。即满足行列式的展开项的特征。

二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。所以只能得六项含有该元素，在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6种，所以该展开法符合上述原则。

三、按上述三次所作的展开项中，每一项的行标的排列应为1234或4321，此二排列的逆序数为0和6，均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一项的列标为1234，其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。而第二项恰为将1234作一次向前的轮换而得的2341，由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序数发生改变，并由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。第三项又是对第二项的列标作一轮换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特性未发生改变，所以它们所得八项的符号仍与第一次一样为正负相间的。因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，依此下去，各项符号是正负相间的。

下面举例说明。 例1：计算四阶行列式：

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0111D4?101111011110解：D4=-1+1-1+1-1+1-1-1-1=-3 例2：计算四阶行列式：

7637D4?357254355654展开图表如下：

7355

654637353735725472546546 76 35 54 567355373537357254（例题2图表一）

7355（例题2图表二）

7355725465463735735572546546（例题2图表三）

解:

D4=7?6?3?4-6?7?5?5+3?2?5?6-7?3?4?5+5?4?7?7-6?3?2?7 +5?5?3?6-4?5?5?3+7?7?5?6-3?2?4?5+7?5?5?5-6?3?3?4 +5?3?2?6-5?5?5?7+4?4?3?3-6?5?7?7+7?2?4?5-7?5?3?5 +6?7?5?4-3?3?5?6+5?5?5?3-4?4?7?7+6?3?3?7-5?5?2?6 =420-1056+180-420+980-252+450-300+1470-120+875-216+180-875+144 -1470+280-525+840-270+375-784+378-300 =-10

例3：计算四阶行列式：

3

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2D4?34?3展开图表如下：

?5?4?92478355

?5?32?543?474?98?32?5743748?3?5234?332?5453?4754?983?32?53533（例题3图表一）

3?5245?4375?94832?3?5（例题3图表二）

3?5425?4735?984325 ?33?55?45?932（例题3图表三）

解：

D4=2?(-4)?8?3-(-5)?7?5?(-3)+4?5?4?2-3?3?(-9)?(-5)+(-3)?(-9)?7?5 -2?8?5?2+(-5)?5?3?(-5)-3?4?(-4)?4+2?7?5?2-4?5?(-9)?(-3) +3?(-4)?4?(-5)-(-5)?3?8?3+(-3)?8?5?(-5)-(-5)?5?(-4)?2+3?(-9)3?4 -2?4?7?3+2?5?(-9)?5-3?(-4)?8?(-3)+(-5)?7?4?3-4?3?5?2 +(-3)?5?(-4)?4-3?(-9)?7?2+2?8?3?3-5?4?5?(-5)

=-192-525+160-405+567-160+375+192+140-540+240+360+600-200-324 -168-430-288-420-120+240+378+144+500 =4

通过以上三例说明，该展开式简单易学，在未学习行列式性质之前，也能计算四阶行列式并加以应用。此法容易记忆，很快地掌握四阶行列式的计算方法。今作此文，方便计算四阶行列式时，减少繁杂的运算，提高运算速度。但是五阶以上的行列式不能用此法，因为元素多，排列种数（全排列）增大，不可能用此简便的方法，将所给元素进行全排列。

2009年8月于水城

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