2016年中考数学试卷矩形菱形与正方形分类汇编解析

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2016年中考数学试卷矩形菱形与正方形分类汇编解析

矩形菱形与正方形 一、选择题 1．（2016?黑龙江大庆）下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形 【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定． 【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误； C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误； D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确． 故选D． 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键． 2. （2016?湖北鄂州）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D.

【考点】菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题． 【分析】如下图所示，由题意可知，△ABC为等边三角形；过C作CH⊥AB，则AH=HB；连接DH；要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQ∥DH；因为BP=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7. 【解答】解：如图，过C作CH⊥AB，连接DH； ∵ABCD是菱形，∠B=60° ∴△ABC为等边三角形； ∴AH=HB= =4； ∵BP=3， ∴HP=1 要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQ∥DH； 由作图知，DHPQ为平行四边形 ∴DQ=HP= 1， CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正确的答案为：B． 【点评】本题综合考查了菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题．本题作为选择题，不必直接去计算，通过作图得出答案是比较便捷的方法。弄清在什么情况下CA′的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键. 3. （2016?湖北咸宁） 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4 ，

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点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ） A. （0，0） B.（1， ） C.（ ， ） D.（ ， ） 【考点】菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称――最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题． 【分析】点C关于OB的对称点是点A，连接AD，交OB于点P，P即为所求的使CP+DP最短的点；连接CP，解答即可. 【解答】解：如图，连接AD，交OB于点P，P即为所求的使CP+DP最短的点；连接CP，AC，AC交OB于点E，过E作EF⊥OA，垂足为F.

∵点C关于OB的对称点是点A， ∴CP=AP， ∴AD即为CP+DP最短； ∵四边形OABC是菱形， OB=4 ， ∴OE= OB=2 ，AC⊥OB 又∵A（5，0）， ∴在Rt△AEO中，AE= = = ； 易知Rt△OEF∽△OAE ∴ = ∴EF= = =2， ∴OF= = =4. ∴E点坐标为E（4，2） 设直线OE的解析式为：y=kx，将E（4，2）代入，得y= x， 设直线AD的解析式为：y=kx+b，将A（5，0），D（0，1）代入，得y=－ x+1， ∴点P的坐标的方程组 y= x， y=－ x+1， 解得 x= ， y= ∴点P的坐标为（ ， ） 故选D. 【点评】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称――最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题．关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图：

解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标. 4. (2016?四川资阳)如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB= ，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（ ） A． B． C． ? D．2 ? 【考点】矩形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证OC=OM=CM=OG= ，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案． 【解答】解：长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示： 则CP=DP= CD= ，△GCP

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为直角三角形， ∵四边形EFGH是菱形，∠EHG=120°， ∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH， ∴OG=GH?sin60°=2× = ， 由折叠的性质得：CG=OG= ，OM=CM，∠MOG=∠MCG， ∴PG= = ， ∵OG∥CM， ∴∠MOG+∠OMC=180°， ∴∠MCG+∠OMC=180°， ∴OM∥CG， ∴四边形OGCM为平行四边形， ∵OM=CM， ∴四边形OGCM为菱形， ∴CM=OG= ， 根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线， ∴DN+CM=2PG= ， ∴DN= ? ； 故选：C． 5. （2016?四川广安?3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定． 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外． ②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形． ③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等． ⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形． 正确的只有③， 故选A． 6.（2016?广东深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；② ;③∠ABC=∠ABF；④ ,其中正确的结论个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 考点：三角形的全等，三角形的相似，三角形、四边形面积的计算。 解析： ∵CA=CB, ∠C=∠CBF=90° ∴∠ABC=∠ABF=45°,故

正确

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90° ∴△ACD∽△FEQ

∴AC∶AD=FE∶FQ ∴AD?FE=AD2=FQ?AC,故④正确 7．（2016?山东枣庄）如图，四边形ABCD是菱形， ， ， 于H，则DH等于 A． B． C．5 D．4 【答案】A. 【解析】 试题分析：如图，四边形ABCD是菱形， ， ，

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根据菱形的性质可得OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB=5，再由 即可求得DH= ,故答案选A. 考点：菱形的性质. 8．（2016?江苏苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ） A．（3，1） B．（3， ） C．（3， ） D．（3，2） 【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题． 【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题． 【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小． ∵D（ ，0），A（3，0）， ∴H（ ，0）， ∴直线CH解析式为y=? x+4， ∴x=3时，y= ， ∴点E坐标（3， ） 故选：B． 9．（2016?江苏无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【考点】菱形的性质；矩形的性质． 【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角． 矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分． 【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有； （B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质； （C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有； （D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有． 故选：C． 10．（2016?江苏省宿迁）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ） A．2 B． C． D．1 【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FB=AB=2，BM=1， 则在Rt△BMF中， FM= ， 故选：B． 【点评】此题考查了翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键． 11．（2016?江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3

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个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ） A．6 B．3 C．2.5 D．2 【考点】几何问题的最值． 【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小 【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形， 作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形， 在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小

=4×6?×4×4?×3×6?×3×3=2.5． 故选C． 12．（2016?浙江省舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（ ） A． B． C．1 D． 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论． 【解答】解：过F作FH⊥AE于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE， ∴DE=BF， ∴AF=3?DE， ∴AE= ， ∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°， ∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°， ∴∠DAE=∠AFH，

∴△ADE∽△AFH， ∴ ， ∴AE=AF， ∴ =3?DE， ∴DE=， 故选D．