概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则

(n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)knP(Ai1Ai2Ain?1)?(1?n?1k)n

其中i1,i2,…,in?1是1，2，…，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?122S2??P(AiAj)?Cn(1?)kn1?i?j?nnSn?1?Sn?01?i1?i2?in?1?n?P(Ai1Ai2?1Ain?1)?Cnn(1?n?1k)n

P(Ai)?S1?S2?S3?i?1n?(?1)n?1Sn2nn?1?(?1)nCn(1?k2k ?C1n(1?)?Cn(1?)?1nn?1k) n故所求概率为

1k2i21?P(Ai)?1?C1(1?)?C(1?)?nni?1nnn?1?(?1)n?1Cnn(1?n?1k) n45.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】在n重独立试验中,事件A都不发生概率为： p(?)?(1??)

n由于?为随机事件A发生的概率,而题目给定?>0,因此其定义域为

D?????(0,1]?

假设n足够大,即n??，在??(0,1] 上,由极限定义可得

limp(?)?lim(1??)n?0

n??n??即假设n足够大,n次独立试验中A都不发生的概率为n??时, p(?)?0

因而在n足够大时, A至少发生一次的概率为 lim(1?p?(?))。 证毕。

n??46.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn ,P(B)?m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1

2则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)?

P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1rmm?n2 ? ?rm1nm?2n?1rm?n2m?n47.n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

0n1n?12n?2(q?p)n?C0?C2?npq?Cnpqnpq0n1n?12n?2(q?p)n?C0?C2?npq-Cnpqnpqn0?Cnnpq?1.................① n0?(?1)nCnnpq.....................②

①—②，得所求概率为

n?13n?3p1?C1?C3?npqnpq

1?[1?(q?p)n] 21?[1?(1?2p)n] 2若要计算在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

1p2?[1?(1?2p)n].

248.某人向同一目标独立重复射击每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，求此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率。

12【解】 根据独立重复的伯努利试验，前3次射击中1次成功2次失败其概率为C3p(1?p)，

再加上第4次射击命中目标，其概率为p，根据独立性，所求概率为

3p2(1?p2).

49. 设A,B,C是随机事件, A与C互不相容，P(AB)?11,P(C)?，求P(ABC). 23【解】因为A与C互不相容，所以C?A,当然C?AB,于是

P(ABC)?P(ABC)P(AB)3??. 1?P(C)4P(C)50.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

所求 (A?B)(A?B)(A?B)(A?B) ?[(ABAB)(AB?AB)]

??

故所求值为0.

51.设两两相互独立的三事件，A，B和C

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?3P(A)?3[P(A)]2?故P(A)?9 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=.

244452.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相等，求P（A）. 【解】 P(AB)?P(AB)?1?P(A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ②

故 P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)

故 P(A)?P(B) ③ 由A,B的独立性，及①、③式有

1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)] ?[1?P(A)]

故 1?P(A)??故 P(A)?221 324或P(A)?（舍去） 33即P（A）=

2. 3点落在半圆内任何区域的概率与2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，

53.随机地向半圆0

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1πa2.阴影部分面积为 2π212a?a 42故所求概率为

π212a?a42?1?1 p?122ππa254.

10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

C242C10P(AB)1 P(B|A)???2CP(A)51-26C1055.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={抽到的报名表是i区的考生的}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生的报名表}，j=1,2. 显然 P(Ai)?137， P(B,i?1,2 , 3|A)?,P(B|A?)11123101535,P(B|A?) 1325(1) 由全概率公式得 P(B1)?137529P(B|A)?(??)? ?1i310152590i?1(2) 由贝叶斯公式得 P(B1|B2)?3P(B1B2)

P(B2)而 P(B2)??P(Bi?12|Ai)P(Ai)

?1782061 (??)?310152590P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai)

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