概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立. 33.

的概率.

【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

111，，，求将此密码破译出534P(Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?34.

423???0.6 5340.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)??P(Bi)P(A|Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7) ×0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7) ×0.6+（0.4×0.5×0.7）×1 =0.458

35.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

24C69（1） P(A)?，也可由6重贝努里模型：

10621294P(A)?C6()()

1010（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P10P(B)?6

10（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；

131121③4个人在不同楼层离开，有P9种可能结果，故

2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10

4（4） D=B.故

6P10P(D)?1?P(B)?1?6

1036. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 n个朋友随机地围绕圆桌而坐，基本事件总数为

n!?(n?1)! n（1） 设A表示“甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边”，则A所含基本事件数为

(n?2)!1(n?1)!? ?(n?2)!，于是P(A)?(n?1)!n?1n?1(2) 设B表示“甲、乙、丙三人坐在一起”，则B所含基本事件数为

3!(n?3)!3!(n?2)!,n?3 ?3!(n?3)!，于是P(B)?(n?1)!n?2(3) 如果n个人并排坐在长桌的一边，基本事件总数为n!，A所含基本事件数为(n?1)!， P(A)?(n?1)!1? n!n3!(n?2)!,n?3 n!

B所含基本事件数为 3!(n?2)!，于是P(B)?37.[0，a]

【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则样本空间为由

0?x?a,0?y?a,0?a?x?y?a，

即 0?x?a,0?y?a,0?x?y?所构成的图形，有利事件集（三角形的两边之和大a于第三边）为由

?x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ???y?(a?x?y)?x构成的图形，即

a?0?x??2?a? 0?y??2??a?2?x?y?a?

如图阴影部分所示，故所求概率为p?

1. 438. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与k无关. 【证】 （考虑次序）基本事件总数为An ， “试开k次（k=1,2,…,n）才把门打开”，意味着“第k次打开门之前，在不能打开门的n?1把钥匙中选则了k?1次”， 共有An?1种选择方法，因此

k?1An11 p?? ,?,k?1,2,nkAnnk?1k 由计算结果可以看出“概率与k无关”。

39.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）. 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.

10001000P(A0)?40.对任意的随机事件A，B，C

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A). 【证】 P(A)?P[A(BC)]?P(ABAC)

?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?P(AB)?P(AC)?P(BC) 41.

3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

C33!3P(A1)?43?

48而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

C114P(A3)?3?

416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?319 ??8161621C1C93C3? 或 P(A2)?43416 42.2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n次硬币，可能结果：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，易知A，B，C是样本空间的一个划分，故

P(A)?P(B)?P(C)?1

由于硬币是均匀的,考虑到对称性，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C) 2在2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211 故 P(A)?[1?Cn2n2n]

22 43.

Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）

≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 44.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少