概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

P(BA)?P(AB)6/86??

P(A)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?20.

5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}， B={此人是色盲}，则A={此人是女人}，显然A，A是样本空间的一个划分，且P(A)?P(A)?1,由贝叶斯公式得 2P(AB)? ?21.

P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520 ?0.5?0.05?0.5?0.0025219∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻分别x,y为,则0?x?60,0?y?60，可知样本空间是“边长为60 的正方形区域”，设A表示 “一人要等另一人半小时以上”，等价于x?y?30，如图阴影 部分所示.由几何概型的概率公式可得

3021P(A)?2?

60422.

0，1）中随机地取两个数，求：

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于

【解】设两数分别x,y为,则0?x?1,0?y?1,可知样本空间是“边长为1的正方形 区域”. (1)设A表示 “两个数之和小于由几何概型的概率公式可得

65”，等价于x?y?,如图阴影部分所示. 5614417 P(A)?1?255??0.68

12511(2) 设B表示 “两个数之积小于”，等价于xy?,如图阴影部分所示.

44由几何概型的概率公式可得

P(B)?1??23.

?1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?421P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）

【解】 P(BAB)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.51?

0.7?0.6?0.54 ?24.

15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新 球}。显然A0，A1，A2，A3是样本空间的一个划分。由全概率公式，有

P(B)??P(Ai)P(BAi)

i?03312321333C3CCCCCCCCC?36?39?936?38?936?37?39?36?0.089 C15C15C15C15C15C15C15C1525. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}，显然A，A是样本空间的一个划分，由题意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而

B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}， C={收到信息是A}，则则信息是B}

由贝叶斯公式，得

A={原发信息是B}，C={收到

P(AC)? ?27.

P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

2/3?0.98?0.99492

2/3?0.98?1/3?0.01

【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），显然A0，A1，A2是样本空间的一个划分。由

题设条件知P（Ai）=

1,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 3P(BA1)P(A1)P(A1B) P(A1B)??2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?28.

2/3?1/31?

1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3396%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)? ?29.

P(A)P(BA)P(AB)? P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.05.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

P(A|D)? ?30.

P(AD)P(A)P(D|A)?

P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.30.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9? 【解】设A表示“进行n次独立射击至少击中一次”，则没击中”。由题意知

A表示“进行n次独立射击一次都

P(A)?1?P(A)?1?(0.8)n?0.9

即 (0.8)?0.1，解不等式得 n≥11，故至少必须进行11次独立射击. 32.

P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

n?【证】 P(A|B)P(A|B)即

P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)