高中数学选修2-3分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2套)附解析

根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8个不同的等差数列．] 5．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为( ) A．9 C．18

B．12 D．24

D [由分步乘法计数原理得共有不同的项数为4×2×3＝24.故选D.] 二、填空题

6．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种.

48 [当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．]

7.如图1-1-6所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种．

图1-1-6

6 [由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理共有2＋4＝6种不同走法．]

8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．

20 [分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法； 若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法； 若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法． 所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．] 三、解答题

9．如图1-1-7所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子

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涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种(用数字作答).

图1-1-7

[解] 不妨将图中的4个格子依次编号为①②③④，当①③同色时，有6×5×1×5＝150种方法；当①③异色时，有6×5×4×4＝480种方法．所以共有150＋480＝630种方法．

10．用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列．

(1)求这个数列的项数；

(2)求这个数列中的第89项的值．

[解] (1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确定个位，因此要分步相乘．

第一步：确定百位数，有6种方法． 第二步：确定十位数，有5种方法． 第三步：确定个位数，有4种方法． 根据分步乘法计数原理，共有 N＝6×5×4＝120个三位数． 所以这个数列的项数为120.

(2)这个数列中，百位是1,2,3,4的共有4×5×4＝80个， 百位是5的三位数中，十位是1或2的有4＋4＝8个， 故第88个为526，故从小到大第89项为531.

[能力提升练]

一、选择题

1．把10个水果分成3份，要求每份至少一个，至多5个，则不同的分法种数是( )

A．5 C．4

B．6 D．3

C [由于分成3份，每份至少1个，至多5个，故有一份1个水果，则其余

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两份只能是一份5个，一份4个；有一份2个水果，则其余两份可能一份5个，一份3个，或两份都是4个；有一份3个水果，则其余两份只能是一份4个，一份3个．

∴共有1＋2＋1＝4(种)．]

2．如图1-1-8所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，

每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有( )

图1-1-8

A．180种 C．360种

B．240种 D．420种

D [区域2,3,4,5地位相同(都与其他4个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时应注意：区域4与区域2同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法；区域4与区域2不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种栽种方案．故选D.]

二、填空题

3．如图1-1-9的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________．(注：其他方向的也是L形)

图1-1-9

32 [每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案，该图中共有8个这样的小正方形．故可画出不同位置的L型图案的个数为4×8＝32.]

4．平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是________.

12 [设5个点所在直线为l，直线外两点为A，B.解决本题可分三类：

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第一类，确定直线的两点都在直线l上时，确定的直线为l，只有这1条直线；

第二类，确定直线的两点中一点在l上，另一点不在l上时，可以分两步完成选这两个点的任务，第一步从共线的5点中选一个点，有5种选法，第二步，从A、B中选一个点，有2种选法，故共有5×2＝10(条)直线；

第三类，确定直线的两点均不在l上，则只能是A、B两点，故能确定1条直线．

由分类加法计数原理，共可确定1＋10＋1＝12(条)直线．] 三、解答题

5．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图1-1-10所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？

图1-1-10

[解] 第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，共有4×3×2＝24(种)方法．

第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法． 第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，假设剩下的为B，C，若B与A1同色，则C只能选B1点颜色；

若B与C1同色，则C有A1，B1处两种颜色可选．故B，C选灯泡共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2×3×3＝216(种)方法．

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