2020届高三数学一轮复习课时作业 (50)抛物线B 理 新人教B版

课时作业(五十)B [第50讲 抛物线]

[时间：35分钟 分值：80分]

基础热身

1．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为( )

22

A．y＝8x B．y＝－8x

22

C．x＝8y D．x＝－8y

2

2．抛物线x＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( ) 5313A. B. C．－ D．－ 2222

2

3．已知抛物线y＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是( )

A．1 B．2 C．4 D．6

2

4．对于抛物线y＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( )

A．(－∞，0) B．(－∞，2] C．[0,2] D．(0,2) 能力提升

2

5．已知A，B是抛物线y＝2px(p>0)上的两点，O是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是( )

A．x＝p B．x＝3p

35C．x＝p D．x＝p

22

2

6．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)均在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|

222

B．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|

2

D．|FP2|＝|FP1|·|FP3|

2

7．已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

17A. B．3

2

9

C.5 D.

28．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )

A．4 B．8 C．16 D．32

9．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．

2

10．[2020·全国卷Ⅱ] 已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为

→→

3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM＝MB，则p＝________.

→→2

11．[2020·重庆卷] 已知以F为焦点的抛物线y＝4x上的两点A、B满足AF＝3FB，则弦AB的中点P到准线的距离为________．

2

?1?12．(13分)[2020·珠海模拟] 在平面直角坐标系xOy中，设点F?，0?，直线l：x?2?

1

＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.

2

(1)求动点Q的轨迹方程C； (2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．

图K50－1 难点突破

13．(12分)[2020·湖北卷] 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有→→

FA·FB<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

课时作业(五十)B

【基础热身】

1．C [解析] 点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0即y＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p2

＝4，故所求的抛物线方程为x＝8y.

1?1?2

2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x＝－2?－a?y，则焦参数p＝－a，故抛

2?2?

11－a－a2p23

物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－. 2222

1

3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，－2)，|AB|＝4，故△OAB的面积S＝

2

1

|AB||OF|＝×4×1＝2.

2

?y0??y0?222

4．B [解析] 设点Q的坐标为?，y0?，由|PQ|≥|a|，得y0＋?－a?≥a，整理，得

?4??4?

y(y＋16－8a)≥0，∵y≥0，∴y＋16－8a≥0，即a≤2＋恒成立．而2＋的最小值为2，

8

8

所以a≤2.

【能力提升】

5．D [解析] A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由于焦点F，0是抛物线的垂心，所以OA2

y0－y05p52

⊥BF.由此得×＝－1，把y0＝2px0代入得x0＝，故直线AB的方程是x＝p.

x0p22

x0－

26．C [解析] 由抛物线定义，2?x2＋?＝?x1＋?＋?x3＋?，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.

2??2??2??

?1?7．A [解析] 依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F?，0?.?2?

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P?1?2＋22＝17. 到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝?2?2??

2

8．B [解析] ∵抛物线C：y＝8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，∴K(－2,0)， 设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y0)，∵|AK|＝2|AF|，又AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2，

222222

∴由BK＝AK－AB得y0＝(x0＋2)，即8x0＝(x0＋2)，解得x0＝2，∴A(2，±4)，∴△

11

AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.

22222

9．y＝4x [解析] 设抛物线方程为y＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x－kx2

＝0，x1＋x2＝k＝2×2＝4，故y＝4x.

1→→

10．2 [解析] 过B作BE垂直于准线l于E，∵AM＝MB，∴M为AB中点，∴|BM|＝|AB|.

2

1

又斜率为3，∠BAE＝30°，∴|BE|＝|AB|，∴|BM|＝|BE|，

2

∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.

20

20

20

20

22

y20y20

p?

p??p??p?

8

11. [解析] 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|＝xA＋1，|BF|＝xB＋1，∴xA＋1＝3(xB3

＋1)．①

由几何关系，xA－1＝3(1－xB)．②

1xA＋xB8

联立①②，得xA＝3，xB＝，∴所求距离d＝＋1＝.

323

12．[解答] (1)依题意知，

点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP， ∴RQ是线段FP的垂直平分线． ∵|PQ|是点Q到直线l的距离．

点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|. 故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，

2

其方程为：y＝2x(x>0)．

(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，

圆的半径r＝|MA|＝x0－12＋y20，

222

则|TS|＝2r－d＝2y0－2x0＋1，

因为点M在曲线C上，所以x0＝，

2

所以|TS|＝2y0－y0＋1＝2，是定值． 【难点突破】 13．[解答] (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足x－12＋y2－x＝1(x>0)．

2

化简得y＝4x(x>0)．

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??x＝ty＋m，22

设l的方程为x＝ty＋m，由?2得y－4ty－4m＝0，Δ＝16(t＋m)>0，

?y＝4x，?

2

2

y20

于是?

?y1＋y2＝4t，?

??y1y2＝－4m.

①

→→

又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)， →→

FA·FB<0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.②

?y1y2?又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－?＋?＋1<0，

444?44?

12

＋y1y2－[(y1＋y2)－2y1y2]＋1<0.③ 164

22

由①式，不等式③等价于m－6m＋1<4t.④

22

对任意实数t,4t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m－6m＋1<0，即3－22

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，→→

都有FA·FB<0，且m的取值范围是(3－22，3＋22)．

?

y2y2y212

22

y1y2

2