高中数学北师大版必修5习题：第三章不等式3.4.1

大师大大丰富嘎嘎 4.1 二元一次不等式(组)与平面区域

课时过关·能力提升

1.不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是 A.(0,0)

B.(1,1)

C.(0,2)

D.(2,0)

( )

解析:把各选项中的点的坐标分别代入不等式3x+2y<6中,若不等式成立,则该点在不等式3x+2y<6表示的平面区域内;反之,则不在.由计算知点(2,0)不在不等式3x+2y<6表示

的平面区域内. 答案:D 2.若点(a,b)在直线x-2y-3=0的右下方,则下列不等式成立的是( ) A.a-2b-3>0 C.a-2b-3=0

B.a-2b-3<0 D.a-2b-3≤0

解析:在平面直角坐标系中画出直线x-2y-3=0,由于点(0,0)在该直线的左上方,故x=0,y=0是不等式x-2y-3<0的一个解.因为点(a,b)在直线x-2y-3=0的右下方,所以a-2b-3>0. 答案:A 3.下列各点中,与点(1,2)位于直线x+y-1=0的同一侧的是( ) A.(0,0)

B.(-1,1)

C.(-1,3)

D.(2,-3)

解析:点(1,2)使x+y-1>0,点(-1,3)使x+y-1>0,所以这两点位于直线x+y-1=0的同一侧. 答案:C 4.在平面直角坐标系中,不等式x2-y2>0表示的平面区域是( )

A.

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B.

C.

D.

故选B. 解析:原不等式等价于 或

- - 答案:B -

(a为常数)表示的平面区域的面积等于5.在平面直角坐标系中,若不等式组 -

-

2,则a的值为( ) A.-5

B.1

C.2

D.3

解析:直线ax-y+1=0恒过定点(0,1),如图所示,阴影部分即△MNP是不等式组表示的平面区域,则M(1,0),N(1,a+1),P(0,1),故|MN|=|a+1|,点P到MN的距离为1,则△MNP的面积为

×1×(a+1)=2,解得a=3.

天热迎头痛击 大师大大丰富嘎嘎 答案:D 6.若点(a,1)在直线x-2y+4=0的右下方,则a的取值范围是 . 解析:点(a,1)在直线x-2y+4=0的右下方,则a-2+4>0,解得a>-2. 答案:(-2,+∞)

★7.已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足 =λ +μ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则平面区域D的面积为 .

=λ +μ =(2,1), =(1,2). 解析:由题意知

=(x-1,y+1), 设P(x,y),则 - 故 即

-

- -

∵1≤λ≤2,0≤μ≤1, ∴

- 如图所示.

-

∴A1(3,0),B1(4,2),C1(6,3), |A1B1|= - , 两直线距离d= -

.

故平面区域D的面积为|A1B1|·d=3. 答案:3 天热迎头痛击 大师大大丰富嘎嘎

围成的平面区域内的两点,则|MN|的最大值8.已知M,N是不等式组

- - 是 .

解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

观察图可得|MN|的最大值是直线x+y-6=0与y=1的交点A(5,1)和直线x-y+1=0与x=1的交点B(1,2)间的距离,即|MN|max=|AB|= - - . 答案:

★9.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对 -

称,则不等式组 - 表示的平面区域的面积是多少?

解:P,Q关于直线x+y=0对称,故直线PQ与直线x+y=0垂直,直线PQ即是直线y=kx+1,故k=1.

又线段PQ为圆x2+y2+kx+my-4=0的一条弦, 故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上.

线段PQ的垂直平分线即为直线x+y=0,又圆心为 - - ,故m=-k=-1. -

从而不等式组为

它表示的平面区域如图阴影部分所示.

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