初中数学二元一次方程组知识点+习题

二元一次方程组的概念及解法

模块一：二元一次方程

知识精讲

一、二元一次方程

含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”；

③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．

关于x、y的二元一次方程的一般形式：ax?by?c（a?0且b?0）． 二、二元一次方程的解

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．

?x?1如：方程x?y?2的一组解为?，表明只有当x?1和y?1同时成立时，才能满足方程．

y?1?一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随

之确定了．

例题解析

【例1】 若3x2a?1?5yb?1?0是关于x、y的二元一次方程，则a?______，b?______．

【例2】 已知方程?m?3?xm?2?2yn?1?0是关于x、y的二元一次方程，则m?______，n?______． 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）

A．x?y?1?0

B．xy?5??4

C．3x2?y?89

D．x?1?2 y【例4】 在方程3x?2y?5中，若y??2，则x?________．

【例5】 二元一次方程x?2y?1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）

?x?0?A．?1

y????2

?x?1B．?

y?1?

?x?1C．?

y?0?

?x??1D．?

y??1?

【例6】 求二元一次方程2x?y?5的所有非负整数解．

?x?2【例7】 已知?是关于x、y的二元一次方程4x?3y?2a的一组解，求a2?3a?1的值．

?y?3

模块二：二元一次方程组的概念

知识精讲

一、二元一次方程组

由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． ．．?x?3?x?1?3特别地，?和?也是二元一次方程组．

y??14?y?x??

二、二元一次方程组的解

二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解． ．．．注意：

?2x?3y?9?x?6（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组?的解是?．

x?y?7y?1??（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：

?x?1?x?1?x?y?3因为?能同时满足方程x?y?3、y?x?1，所以?是方程组?的解．

y?2y?2y?x?1???例题解析

【例8】 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）

?xy?1A．?

x?y?2?

?5x?2y?3?B．?1

?y?3??x

?2x?z?0?C．?1

3x?y??5?

?x?5D．?

y?7?

【例9】 下列各组数中，_________是方程x?3y?2的解；_________是方程2x?y?9的解； ?x?3y?2________是方程组?的解．

2x?y?9??x??1①．?；

?y??1

?x?5②．?；

y?1??x?3③．?；

?y?2

?x?2④．?

?y??5?x?3【例10】 下列方程中，与方程3x?2y?5所组成的方程组的解是?的是（）

y??2?A．x?3y?4 B．4x?3y?4 C．x?y?1 D．4x?3y?2

1??x?【例11】 请以?2为解，构造一个二元一次方程组__________________．

??y??2?x?a【例12】 若?是方程3x?y?1的一个解，则9a?3b?4?_______．

y?b??2x?y?m?x?2【例13】 若关于x、y的二元一次方程组?的解是?，则m?n的值是（）

x?my?ny?1??A．1 B．3 C．5 D．2

??2a?3b?13?a?8.3?2?x?2??3?y?1??13【例14】 已知方程组?的解为?，则方程组?的解是_________．

3x?2?5y?1?30.9?????b?1.2?3a?5b?30.9??模块三：二元一次方程组的解法

知识精讲

一、消元思想

二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．

这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 二、代入消元法

1、代入消元法的概念

将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．

2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一

个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y?ax?b的形式；

②代入消元：将y?ax?b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值；

④回代：把求得的x的值代入y?ax?b中求出y的值，从而得出方程组的解； ?x?a⑤把这个方程组的解写成?的形式．

y?b?三、加减消元法

1、加减消元法的概念

当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．

2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ?x?a⑤把这个方程组的解写成?的形式．

y?b?例题解析

【例15】 把方程5x?A．y?

y?y?1写成用含x的式子表示y的形式，下列各式正确的是（ ） 33?5x 2 B．y?3?10x 2

315C．y???x

22315D．y???x

222??x?t【例16】 若?，则x与y之间的关系式为_________． 2y?2t??

5【例17】 已知代数式?3xm?1y3与xnym?n是同类项，那么m、n的值分别是（）

2?m?2A．?

n??1?

?m??2B．?

n??1?

?m?2

C．?

n?1?

?m??2D．?

n?1?

【例18】 若?x?y?5??2x?3y?10?0，则（ ）

?x?3A．?

y?2?2

?x?2B．?

y?3?

?x?5C．?

y?0?

?x?0D．?

y?5?