2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）

所以数列{}的前n项和为﹣．

【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题． 18．（12分）（2011?河北）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角． 【专题】计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量

面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可． 【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，

222

从而BD+AD=AB，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，

射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则 A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）． =（﹣1，

，0），

=（0，

，﹣1），

=（﹣1，0，0），

，和平

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则

即，

因此可取=（，1，）

，

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则

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即：

可取=（0，1，），cos＜＞==

故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．

【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间

角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． 19．（12分）（2011?河北）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 8 20 42 22 8 频数 B配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 4 12 42 32 10 频数 （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

y=

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差．

【专题】计算题；综合题． 【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．

（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．

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【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为

∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 [90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即X的分布列为 X 2 4 ﹣2 P 0.04 0.54 0.42 ∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题 20．（12分）（2011?河北）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足

∥

，

=

?

，M点的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用． 【专题】计算题；综合题；函数思想；整体思想．

【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，=?，

即可求得M点的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值． 【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）． 所

=（﹣x，﹣1﹣y），

）?

=（0，﹣3﹣y），

=（x，﹣2）．

再由题意可知（=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）?（x，﹣2）=0． ﹣2．

所以曲线C的方程式为y=

（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，

2

因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x0=0．

则o点到l的距离d=

．又y0=

﹣2，

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所以d=

2

=≥2，

所以x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．

【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

21．（12分）（2011?河北）已知函数f（x）=切线方程为x+2y﹣3=0． （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞

+，求k的取值范围．

+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想． 【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．

（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围． 【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1） （Ⅰ）

由于直线x+2y﹣3=0的斜率为，且过点（1，1），故

即解得a=1，b=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

）．

考虑函数（x＞0），则

．

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