2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）

若x∈（，），则2x∈（，），

该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．

故选A．

【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．

12．（5分）（2011?河北）函数y=

的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点

的横坐标之和等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8

【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象． 【专题】压轴题；数形结合．

【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关

于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案． 【解答】解：函数

，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数

的图象如图

当1＜x≤4时，y1＜0

而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象， 在在

和和

上是减函数； 上是增函数．

∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H 相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D 且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8 故选D

【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．

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二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）（2011?河北）若变量x，y满足约束条件

则z=x+2y的最小值为 ﹣6 ．

【考点】简单线性规划． 【专题】计算题．

【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数

z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值． 【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域， 得到的图形是一个平行四边形， 目标函数z=x+2y， 变化为y=﹣x+，

当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大， 当直线过A点时，z取到最小值，

由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5） ∴z=4+2（﹣5）=﹣6 故答案为：﹣6．

【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．

14．（5分）（2011?河北）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为

．过Fl的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为

+=1 ．

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【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．

【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16； 根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；

椭圆的离心率为将a=

，即=，则a=

2

2

c，

2

c，代入可得，c=2

+

=1；

，则b=a﹣c=8；

则椭圆的方程为

故答案为：+=1．

【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可． 15．（5分）（2011?河北）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为 8 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．

【解答】解：矩形的对角线的长为：

=2，

所以棱锥O﹣ABCD的体积为：

=8

．

，所以球心到矩形的距离为：

故答案为：8

【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．

16．（5分）（2011?河北）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为 2 ． 【考点】余弦定理的应用． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得． 【解答】解：设AB=c AC=b BC=a 由余弦定理

cosB=

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所以a+c﹣ac=b=3 设c+2a=m 代入上式得 22

7a﹣5am+m﹣3=0

2

△=84﹣3m≥0 故m≤2当m=2

时，此时a=

222

，c=

符合题意

因此最大值为2 故答案为：2

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．

三、解答题（共8小题，满分70分）

17．（12分）（2011?河北）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{

2

}的前n项和．

【考点】等比数列的通项公式；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．

2

【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a3=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；

（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{项和．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3=9a2a6得a3=9a4，所以q=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=． 故数列{an}的通项式为an=

（Ⅱ）bn=故则

=﹣+

+…+

+

+…+=﹣2（﹣

=﹣（1+2+…+n）=﹣）

）]=﹣

， ，

．

2

2

2

2

的

}的前n

=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣

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