中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点问题(含答案)

1.如图①，正方形 的顶点 的坐标分别为，顶点 在第一象限．点 从点 出发，沿正方形按逆时针方

向匀速运动，同时，点 从点出发，沿 轴正方向以相同速度运动．当点 到达点 时， 两点同时停止

运动，设运动的时间为 秒． （1）求正方形 的边长．

（2）当点 在 边上运动时， 的面积 （平方单位）与时间 （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求 两点的运动速度．

（3）求（2）中面积 （平方单位）与时间 （秒）的函数关系式及面积 取最大值时点 的坐标．

（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间

ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有 个．

（抛物线ABCD的顶点坐标是．

[解] （1）作 轴于 ． ， ． ．

（2）由图②可知，点 从点 运动到点 用了10秒． 又 ．

两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD．

，即．

ABCDABCDABCD． ．

ABCDABCD，

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ABCD即

． ．

ABCD，且

ABCD，

ABCDABCD当

此时

ABCD，

时，ABCD有最大值．

ABCDABCD点ABCD的坐标为

方法二：当ABCD时， 抛物线过点，

．

，且，

ABCD．

． （8分）

ABCD设所求函数关系式为 ．

当时， 有最大值．

此时，

点 的坐标为．

（4） ．

[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

．

2. 如图①， 中， ， ．它的顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ， ，点 从点 出发，沿 的方向匀速运动，同时点 从点 出发，沿 轴正方向以相同速度运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 秒． （1）求 的度数．

（2）当点 在 上运动时， 的面积 （平方单位）与时间 （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点 的运动速度．

（3）求（2）中面积 与时间 之间的函数关系式及面积 取最大值时点 的坐标．

（4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由．

解: （1）ABCD．

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（2）点 的运动速度为2个单位/秒． （3） （ ） ．

当时， 有最大值为，

此时．

（4）当点ABCD沿这两边运动时，ABCD的点ABCD有2个． ①当点ABCD与点ABCD重合时，ABCD，

当点ABCD运动到与点ABCD重合时，ABCD的长是12单位长度， 作ABCD交ABCD轴于点ABCD，作ABCD轴于点ABCD， 由ABCD得：

，

ABCD所以ABCD，从而ABCD．

所以当点ABCD在ABCD边上运动时，ABCD的点ABCD有1个． ②同理当点ABCD在ABCD边上运动时，可算得．

ABCD而构成直角时交ABCD轴于，，

ABCDABCD所以ABCD，从而ABCD的点ABCD也有1个．

所以当点ABCD沿这两边运动时，ABCD的点ABCD有2个．

4y??x?433. （本题满分14分）如图12，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图

象经过点A、C和点B??1,0?.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

3（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒2个单位长度的速度沿折线OAC 按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两

点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，?ODE的面积为S .

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，那么S0 = .

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解：（1）令x?0，则y?4； ∵二次函数的图象过点，

∴可设二次函数的关系式为 又∵该函数图象过点．

∴ 解之，得

令y?0则x?3．∴ABCD．ABCD

y?ax2?bx?4

a??48b?3，3．

48y??x2?x?433∴所求二次函数的关系式为 48y??x2?x?433（2）∵

4?x?1?2?163 =3?∴顶点M的坐标为 过点M作MF?x轴于F ∴ABCD

yMCE1161?16???3?1?????4???1?1032?3?=2

∴四边形AOCM的面积为10 xFD（3）①不存在DE∥OC

∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时ABCD，在ABCD中，ABCD． OBAx1设点E的坐标为ABCD∴3?4t?412t?12x1?5，∴5 ∵ABCD，

12t?1238t??t3 52 ∴∴

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