10112108-盛守荣-矩阵函数以及应用-邱玉文

天津科技大学2014届本科生毕业设计

CeAt??0

若取??X(0)?0，则对任意0?t?t1，便有

这与当X(0)?0时由式4－20

CeAtX(0)?0（X(0)?0）

?(t)?CeAtX(0)?0（X(0)?0）

的结果进行对比，说明X(0)不可以独一确定。该系统与完全可观测的假设互相矛盾。 定理4－16 系统(A,B,C)完全能观测的充要条件是pn?n矩阵

的秩等于n，亦即n?pn矩阵

?C??CA??W0??????n?1??CA?

W0T?[CT,ATCT,?,(AT)n?1CT]

的秩等于n。矩阵W0叫做能观测性矩阵。

例4－10 如果一个系统的状态方程和输出方程是

?3?dX(t)??41???X(t)?u(t)???dt??61??7? ?11?Y(t)???X(t)23??

试判断此系统的能观测性。 解 它的能观测性矩阵为

明显它的秩是2，所以是可观测系统。

?1??C??2W0?????CA???10???261?3??2??5?

矩阵函数在实际生活中的应用非常广，以上介绍的几个例子只是其中的一部分。矩阵函数在数值方法的研究、其余的数学分支和工程的课题上都有很大的作用，像探索刚体的旋转表达方法时，就需要使用矩阵的指数函数；在处理图像、识别模式、通信等其他领域，也经常使用矩阵函数。使用矩阵函数能解决很多其他学科难以解决的计算难题并可以将误

29

天津科技大学2014届本科生毕业设计

差控制在最小范围内.

5 矩阵函数与Matlab结合

随着现代科技的飞速发展，社会上出现了一系列的软件，有文字编辑类的，有视频制作类的，有图形处理类的，还有专门的网络安全软件。这些软件，使现代人的生活发生了翻天覆地的变化，它们极大地丰富了我们的生活，为人们提供了非常大的方便。因为使用这些现代软件和人们追求高效化的生活目标相契合，所以未来软件将会发挥越来越大的作用，软件将会在各个方面显示它的优越性。由于软件的广泛使用，传统学科也随之改变。现代数学软件的产生在数学发展史上也具有划时代的意义，它将数学从传统的依靠手工并且误差较大的计算带到依靠计算机高速并且精确的计算。由于数学软件的产生使数学这门古老的学科更好地发挥了其应有的作用。为了更好地研究本问题，在此对Matlab作一点简单的介绍。现在人们使用各种各样的数学软件，其中人们普遍认为Matlab是功能最强大的数学软件。Matlab是美国的软件公司出版的多用数学软件，它的功能十分完善，可以说是触及了方方面面。例如：使编程工作者研究算法、使得到的数据形象直观、最主要的是用于数据方面。现在我们已熟知的Matlab其实是将两个词（matrix与laboratory）组合而来的，不难看出有矩阵工厂的意义。所有使用过Matlab的人都非常清楚它的最基本的计算功能很强大，但不仅如此。它还提供了一般人很难达到的的信号处理功能，编辑文字的功能，使数学建模立体化并且根据需要随时修改的功能。在数值分析，矩阵运算，科学数据可视化和非线性动态系统仿真建模，和许多其他强大的功能都集成在一个易于使用的环境下，这就是Matlab的优点。它为研究工程、设计科学以及其他对所求的结果数据精确度要求非常高的的其他学科提供了一种非常有效的解决途径，并且在很大程度上改变了为人们所熟悉的一般的程序设计语言（如C、C++）的编程方法。Matlab不仅能够进行矩阵的各种计算，还有有绘图和数值处理等功能，它将理论上的算法用于解决实际问题，例如创建用户界面、连接程序等等，但它是通过使用其他的编程语言，主要用于工程设计，现场控制计算，信号处理，图像处理和通信，检查信号异常，所有的社会判断中最具有前景的分析世界金融形式等。Matlab使用的最小单位是矩阵，它使用的代码的一般形式与工程数学和控制过程中常用的形式相同，所以分别用Matlab、C、FORTRAN等不同语言解决相同的问题，明显的Matlab所用的时间比其他语言需要花费的时间少很多，从中不难看出Matlab计算能力强大。此外Matlab也吸收了其他数学软件的长处，使Matlab真正成为一个有很多实用功能的数学软件。随之科学技术的发展，Matlab也与时俱进。不同的版本都有当时最流行的编程技术。由于使用人数非常多和使用时间非常长，现在代码库中可以直接调用的代码源非常多，每个人都可以根据需要将自己认为非常有用的代码放进Matlab函数库，已经形成了很多经典的程序代码，使用者根据需要直接在数据库进行下载后就能用。Matlab的使用群如此之大，原因非常多，可以归结为以下几点：（1)有效、精确的处理数据和图形中符号处理等功能，使用户不再需要进行复杂冗长的数学分析中的计算，并且它在数学分析

30

天津科技大学2014届本科生毕业设计

中的方法及其晦涩难懂；（2）具有完善的处理图形的功能，使计算和编程的结果形象地呈现出来，非常直观；（3） 完备的用户界面及用自然化语言表示的数学表达式，让使用者很容易接受；（4）还有许多其他实用功能。如处理信号、组织通信，这些对解决实际问题都有很大作用。Matlab对数据和图形处理的方法非常方便。Matlab的代码库中有许多算法。它包含了几乎所有的项目都共同使用的数学函数，可以实现计算功能的各种用户的要求。函数的算法应用于科学和工程计算的最新研究成果，随着时间的推移，通过各种优化和误差校正处理不断扩大和更新现有的数据库。在遇到对结果的要求不是很高时，使用Matlab的优势更加明显。当对计算结果的限制差不多时，利用Matlab编程将比预期少了很多时间。Matlab中含有许多函数集，既有我们都很熟悉的最基本的函数，也有很多难以理解的像快速傅里叶变换等复杂函数。函数能解决很多问题。矩阵计算，线性方程组的主要问题，常微分方程和偏微分方程，数学符号，傅立叶变换，数据的统计分析，工程优化问题，计算稀疏矩阵，计算复杂，三角函数的计算，其他基本的数学计算，计算多维的各种数学和工程阵列仿真图像建模都可以用到。Matlab对图形的处理能力也是空前的。在MATLAB中开始出现以使数据可视化显示作为自己的战略目标，可以用图形来表示矩阵和向量，并可以按照需求完成一系列其他工作。更高级别的作图方式有二维平面图和三维的立体图、动态和表达式作图等。这些都可用于工程计算和科学绘图。Matlab的最新版本有更好的图形处理功能，使它比一般的数据可视化软件都有的功能（例如描绘和制作二维曲线和三维曲面等）更加完备，更关键的是它有很多其他的，别的软件一般没有这些功能。像图形的光照处置、处理色度、表现四维数据，Matlab更是显示出了非凡的能力。同时对一些极少使用的可视化需求，Matlab也有与之匹配的功能函数，保证了不同用户的各种需求。Matlab有许多在实践中能发挥巨大作用的模块箱和工具集。一般来说，它们由许多在自己研究领域颇负盛名的专家学者编写的，所以用户可以直接选择自己需要的工具箱，从中选择对自己有帮助的代码进行学习，不必完全由自己编写，这样不仅能给用户带来极大的方便还能提高工作效率，激发工作激情。所以学习好和掌握好Matlab的知识，对于继续学习数学和其他方面的知识都具有非常重要的意义。本文主要研究的是矩阵函数及其应用，所以通过Matlab编写程序，使一些常用的矩阵函数，像矩阵指数函数、矩阵三角函数和矩阵幂函数通过Matlab非常容易的计算出结果，再通过Matlab强大的图形处理功能将函数的图像直观的显示出来。具体的代码见后面的附录。

31

参考文献

[1]苏育才，姜翠波，张跃辉.矩阵理论[M].北京：科学出版社，2006；

[2]鲁琦，陶桂秀，梅红.矩阵对角化中可逆矩阵的研究[J].安庆师范学院学报（自然科学版）.2011（01）， 81-84；

[3]周杰.矩阵分析及应用[M].成都：四川大学出版社，2008；

[4]普丰山，蒋善利.矩阵函数的应用[J].天水师范学院学报.2009（05）； [5]张跃辉.矩阵理论与应用[M]. 北京：科学出版社.2011；

[6]刘慧，袁文燕，姜东青.矩阵论及其应用[M].北京：化学工业出版社.2003；

[7]马红权，宋俊俊.方阵的最小多项式及其应用[J].南阳理工学院学报；2011（04），122-128； [8]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京：清华大学出版社.2004；

[9]巴桑卓玛.探讨矩阵的秩在线性代数中的应用[J].西藏大学学报（自然科学版）.2010（02），104-107； [10]吴世玕，杜红霞.矩阵函数的性质.[J].全国高校工科数学课程教学指导委员会;合肥工业大学.2008（02），118-120；

[11]魏洪增.矩阵理论与方法[M].北京：电子工业出版社.2006； [12]许立炜，赵礼峰.矩阵论[M]. 北京：科学出版社，2006；

[13]张李盈,步海林,田喜峰.矩阵的等价、相似与合同[J].陕西教育(高教版).2008(04),104;

[14]Zhaojun bai Mark Fahey Gene Golub . Some large-scale matrix computation problems[J] . Journal of Computational and Applied Mathematics 74（1996）71-89;

[15]V.N.Bukov,V.N.Ryabchenko,V.V.Kos’yanchuk .System Embedding. Linear Control with Observation[J] .Automation and Remote Control March2001,Volume 62, Issue 3, pp 356-369； [16]Brand,Louis Applications of the Companion Matrix .American Mathematical Monthly[J] . March1968，Volume75, Issue2, 146-152;