10112108-盛守荣-矩阵函数以及应用-邱玉文

天津科技大学2014届本科生毕业设计

后n-m个特征值是不相同的，我们知道前m个相同的特征值对应一个独立的特征向量P1，但是后面n-m个不一样的特征值表示的特征向量也是不一样的。记为：Pm+1，Pm+2，等等。

?1?1令P=[P1 P2......Pm+1 Pm+2....Pn],有J?PAP，P表示P的逆矩阵，J为约当阵。约

当阵最明显的特征是方阵A的对角线上所有元素都是矩阵的特征值，对角线上侧还有许多1。此外,约当阵都包含约当块，有几个特征向量就有几个约当块，因为每一个特征向量都有对应的约当块。当方阵A是能对角化的矩阵时，这时约当阵就是对角化矩阵。在现代的控制论中，线性系统的状态空间分析方法，约当阵是一个重要的标准，是不可对角化的矩阵。

3、判断频域的根据，通过传递函数来判断。C（SI-A）-1不存在零极点相消，是完全能观测的。如果单输入单输出系统C（SI-A）-1B也没有零极点相消，那么系统既是可控的也是可观测的。如果零极点对消，那么系统就有三种假设，可控制但是不可观测，不可控制但是可以观测，既不可以控制也不可以观测。但是具体是哪种可能性则不能确定。在这里介绍一下频域的基本概念。频域是坐标系的一种，它是表示信号频率方面的特征。为了对事物有一个全面的认识，都需要从多个方面对事物进行描述，因为每一方面的描述我们不能对这个事物进行全面的认识。例如，眼前有一个人，我可以这样描述他。方面1：性别，是男是女。方面2：身高，是高是矮。说到信号，它的特征是多方面的。如信号强度随时间的变化规律（时域特性），信号是由哪些单一频率的信号合成的（频域特性）。

设系统为

?dX(t)?AX(t)?Bu(t)??dt??Y(t)?CX(t)?Du(t) 其中A,B,C,D均为常数矩阵，系数矩阵A是n?n矩阵，输入矩阵B是n?m的矩阵，输出矩阵C是p?n的矩阵，又矩阵D是p?m的矩阵。状态向量X(t)是n维的一个列向量，输入向量u(t)是m维的，输出向量Y(t)是p维的。那么它就称作系统(A,B,C)。

定义4－6 就一个线性的定常系统，如果在一个有限时间区[0,t1]存在输入u(t)（0?t?t1），可以使系统从任意初始状态X(0)?X0转换到X(t1)?0，就可以说这种状态X0是能控制的；如果系统的全部状态都是能控制的，就称这个系统是完全能控制的。

定理4－13 系统(A,B,C)完全能控的充要条件是n阶对称矩阵

Wc(0,t1)??e?A?BBTe?A?d?

0t1T 4－16

为非奇异矩阵。

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证明 充分性。设Wc(0,t1)非奇异。

令

X(t1)?eAt1X(0)??eA(t1??)Bu(?)d? 4－17

0t1u(t)??BTe?AtWc?1(0,t1)X(0)， 4－18

T把u(t)代入式4－17得

t1?A?T?AT??1X(t1)?eAt1X(0)?eAt1???0eBBed???Wc(0,t1)X(0)??

At1At1?1?eX(0)?eW(0,t)W(0,t1)X(0) c1c

At1At1?eX(0)?eX(0)?0

这说明在式4－18所示的控制输入u(t)作用下，能使系统从X(0)转移到X(t1)?0。 必要性。使用用反证的方法证明。如果系统是完全可以控制的，但是Wc(0,t1)是奇异的，则将引出矛盾。

T 因Wc(0,t1)是奇异的，则必有非零向量??(a1,a2,?,an)，使得

即

故对任意时刻0?t?t1，有

t1?TWc(0,t1)??0

T?0?T(e?A?BBTe?A?)?d??0

?Te?AtB?0（0?t?t1）

4－19

该系统是完全可控的，充分性在上文以经证明了，存在u(t)，使其在系统中作用，使得X(t1)?0，所以通过4－17得

?X(0)??e?A?Bu(?)d?

0t1上式两边都左乘?T，并考虑到类型4－19，有

??TX(0)???Te?A?Bu(?)d??0

0t1因为X(0)是任意的，现在令X(0)??，通过上式知道?T??0。这和?是非零向量矛盾，所以Wc(0,t1)是非奇异的。

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定理4－14 系统(A,B,C)完全能控的充要条件是n?mn矩阵

Wc?[B,AB,A2B,?,An?1B]

的秩为n。Wc称为能控性矩阵。

证明 充分性。可以使用反证的方法，若系统不是完全可以控制的，那么通过定理4－13可以得到矩阵Wc(0,t1)是奇异的，所以式4－19两边求k次微商可得

令t?0得

?T(?A)ke?AtB?0（k?1,2,?,n?1）

?TAkB?0（k?1,2,?,n?1）

而在式4－19中使t?0，可得?TB?0，故对于k?0,1,2,?,n?1均有

?TAkB?0

即?T[B,AB,A2B,?,An?1B]?0（?是非零向量）。这与矩阵Wc的秩为n相矛盾，就证明了系统是完全能控的。

例4－9 已知

?132??21??B??11?A??020???????013??，??1?1??

试判别系统(A,B,C)是否完全能控。

解 这是一个具有两个输入、三个状态变量的系统。因为

3254??21?Wc?[B,AB,A2B]??112244?????1?1?2?2?4?4?? ?213254???初等变换?????112244????000000??

故Wc的秩?3，从而系统不是完全能控的。

定义4－7 对于一个线性定常系统，若在有限时间区间[0,t1]内，能通过观测系统的输出Y(t)而唯一地确定任意初始状态X（0），则称此系统是完全能观测的，或者说对每

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一状态X(0)是能观测的。

定理4－15 系统(A,B,C)完全能观测的充要条件是n阶对称矩阵

为非奇异矩阵。 证明 充分性：

令

于是得

T

M(0,t1)??eA?CTCeA?d?0t1T

Y(t)?CX(t)?Du(t)?CeAtX(0)?C?eA(t??)Bu(?)d??Du(t)0tt

?(t)?Y(t)?C?eA(t??)Bu(?)d??Du(t)0

CeA(t)X(0)??(t) 4－20

以eAt?CT左乘上式两边，并从0到t1进行积分，可得

t1t1ATtTAtATtT??eCCedtX(0)?e??0??0C?(t)dt， ??

即

若M(0,t1)为非奇异矩阵，则

M(0,t1)X(0)??eAtCT?(t)dt0t1T

X(0)?M(0,t1)?eAtCT?(t)dt，

0?1t1T即X(0)可以唯一确定。由此可见，如果M(0,t1)（t1?0）是非奇异的，那么该系统就是完全能观的。

必要性：

如果系统是完全可观测的，我们用反证法证明M(0,t1)是非奇异的。事实上，如果

M(0,t1)是奇异的，则存在非零n维向量?，使得

将M(0,t1)代入此式便得

这表明对任意0?t?t1，有

?TM(0,t1)??0

A?TA??T???eCCed?????0Tt1?0?

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