10112108-盛守荣-矩阵函数以及应用-邱玉文

天津科技大学2014届本科生毕业设计

以几何方法解决实际问题，同时产生了基于抽象代数的主要用于线性系统的代数新理论，也出现了基于扩展的经典频率的方法开发而来的多变量频域理论。就在此时，由于计算机技术的飞速发展和完善，对于线性系统中的研究和整合中出现的的计算难题，以及使用计算机对线性的体系进行辅助性的剖析和辅助性的设计，也都得到了广泛和充分的研究。为了使研究的问题更透彻，接下来重点介绍一下能控性和能观测性。可控制性和可观性是现在的控制理论中最基础的概念，它是卡尔曼于60年代率先提出，它的基础是线性系统的理论分析和设计。能控制性其实指的是一种可能性，它是指控制作用u(t)对被控制系统的状态x(t)进行控制的这种可能性；能观性描述的其实是一种可能性，它是通过系统输出y(t)反推系统状态x(t)的可能。可控制性描述的是状态的控制力，可观测性描述的是状态的观测力，这两条性质给出了两个最基本的控制系统存在的问题。

下面就给出线性系统的可控制性与可观测性的定义。 能控性定义：

一般地，对于线性定常系统

（1-1）

其中，x、u分别是n、r维向量；A、B是常值矩阵，常值矩阵满足矩阵运算.如果

t1]，给定系统的初始状态x(t0)，在t1?t0的有限时间区间[t0 ，可以发现控制u(t)使x(t1)?0，系统的状态在t0时刻是可以控制的；假如系统对于任何一个初始状态都可以控制，那么就称这个系统的状态完全可以控制的，简称系统是状态能控的或者系统是可控的。

对于能控性的定义，说明几点：

(1)初始状态x(t0)是状态空间中任意的非零有限点，控制目标是状态空间坐标原点(原点能控性)。

(2)如果在[t0，t1]内，能找到控制u(t)使系统从状态空间原点推向预先指定的状态

x(t1)，则称为状态能达性；因为任何连续系统的状态转移形成的都是非奇异的矩阵，所以能说某种程度上系统能达性就是系统的能控性。在这里简单介绍一下非奇异矩阵。如果n阶矩阵A的行列式不为零，即A?0，那么A被称为非奇异矩阵，否则就是奇异的。 (3) 若t0?0，x(t0)?x(0)，系统状态方程的解为

t1A(t1??)Bu(?)d? x(t)=eAtx(0) +?0e如果系统是能控的，能找到控制u(t)，使得

21

天津科技大学2014届本科生毕业设计

x(t1)=eAt1x(0)+?t01eA(t1??)Bu(?)d?=0

t1A(t1??)Bu(?)d? eAt1x(0)=- ?0e x(0)=- ?0et1A(t1??)Bu(?)d? （1-2）

满足初始状态类型x(0)，必须是可控的状态。

(4)当系统有不依附于u(t)的确定性干扰f(t)时，系统状态方程可以表示为

x?Ax?Bu?f(t)

x(t0)?x(0)

?因为f(t)是一个确定性的干扰，它不会改变系统的可控性。 能观测性定义

一般地，对于线性定常系统

如果在t1?t0的有限时间区间[t0，t1]内，通过观测y(t),能唯一地确定系统的初始状态

x(t0)，称系统状态在t0是能观测的；如果对任意的初始状态，可以观察到，就说系统是完全可观测的，称为系统的状态可以观察或系统可观察。

对于能观测性的定义，说明几点：

(1)已知系统在有限时间区间[t0，t1]内的输出y(t)，观测的目标是为了确定初始状态

x(t0).

(2)系统对于在[t0，t1]内的输出y(t)能唯一地确定任意指定的状态x(t1),表示系统状态可以被检测到；因为连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，所以系统能检测性与能观测性是等价的。

(3)能观测性表示的是输出y(t)反映状态x(t)的能力,与控制作用没有直接的关系，所以在分析能观测性时，不妨设u(t)?0，只需从齐次状态方程和输出方程出发进行分析。那么线性定常系统就变为

22

天津科技大学2014届本科生毕业设计

（4）若系统存在确定性干扰信号f(t)，即

x?Ax?Bu?f(t)

?y?Cx

因为x(0)与u(t)、f(t)独立，因此在系统的可观测性研究是不考虑f(t)的影响。 二、能控性与能观测性的判定

线性的系统最基本的结构特征是能控性与能观测性，它们表示的是系统的输入输出与系统内在状态量之间的联系。直观地说，可控性问题是系统的内部状态变量的研究完全可以用问题的输入控制。如果可以改变和掌管系统的每一个运动状态，并且通过任何一个开始的点都可以到达原来的状态空间原点，那么就称这个系统是完全可控制的。可观测性是系统输入与输出的充分反映系统问题的状态。如果任何形式的状态变量的输出系统都充分体现了运动，所代表的系统状态可观，则称为观察。系统的状态方程为：

系统可控性探讨的是控制系统的输入量对状态量的作用。可控制性的判别规则最常用的有三种：

1、通过判定矩阵来判断能控性。可控性矩阵Qk=[B AB A2B … An-1B]满秩。如果B的秩为r，可控性矩阵Qk=[B AB A2B … An-rB]。为了继续研究的需要，在这里简单地介绍一下满秩的概念，首先介绍一下矩阵的秩的概念。矩阵的秩: 用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵,则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩,记为r(A)。满秩矩阵（non-singular matrix）:设A是n阶矩阵, 如果r(A)?n,称A为满秩矩阵。满秩矩阵这个概念非常重要，它能判断矩阵是否可逆，非奇异矩阵是满秩矩阵。

2、利用对角约当规范型来判断。此状态可确定哪个状态不可控。

3、利用传递函数来判断。状态输入型的传递函数：（SI-A）-1B无零极点相消现象，它是完全可控的。这个判定准则不能够单独使用。为了便于理解和后续研究，在这里介绍一个非常重要的概念，传递函数。传递函数（transfer function）是将两个拉氏变换作除法。是在最开始的系统中输出变量的拉氏变换和输入变量的拉氏变换的商。写作

Y(s)、U(s)分别代表输出量与输入量的拉氏变换。传递函数是G(s)?Y(s)U(s)，前面的描绘线性系统动态特点的常用工具，最初产生的控制理论经常使用的研究方式是响应频率法和根轨迹方法，它们都以传递函数为知识基础。系统的律的微分方程是对应的。所以可以先将整体分为几个部分，先求出每个部分自己的传递函数，再通过一定的逻辑性将这些传递函数组合起来就是我们要求的整体的传递函数。可以使用它们探讨系统的动态特征、

23

天津科技大学2014届本科生毕业设计

稳定性，或按照要求将控制系统整合起来，设计满意的控制器。根据传递函数的知识探讨和整合控制的系统方法就是频域法。它不仅是最开始出现的控制的基本理论，而且在以单变量的频域法为基础的现代控制理论的成长进程中，它一直不断完善才有了现在的多变量的频域控制理论，为多变量控制系统研究的有力工具。一个纯虚复数当它的虚部是角频率时在传递函数中被称作频率响应。拉氏变换在工程中经常被应用。拉普拉斯变换是线性变换，它能使一个有引数实数t（t?0）的函数变换成引数为复数s的函数。在许多情况下，一个实变量函数在实数域中运算难度很大，但是对于一个拉普拉斯实变函数的变换，它能在复数领域内进行各种各样的数学操作，最后对前面求得的计算结果作一次拉氏反变换，就能最终求出它在实数领域的结果，这种方法在运算上和直接求解相比，方便很多。拉普拉斯变换方法计算出结果的线性微分方程是非常明显的，因为它可以将微分方程化为代数方程，所以计算很简单。在最开始的控制理论中，探讨和整合控制系统，都是以拉氏变换为基础上。引进拉普拉斯变换最明显长处，是采用了传递函数来描述系统的特征，取代了以前的常系数微分方程。其特点是直观和简单的图形方法来确定控制系统，运行过程控制系统的分析，为控制体系进行调试提供了可能。拉普拉斯变换是通过t?0的连续时间函数

x(t)再通过关系式X(s)??x(t)e?stdt(式中st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函

0?数X(s)。这就是时间函数x(t)用“复频域”表示的方法。它的功能是主要是转换，它是以使计算简单为目的的，主要是真实变量和复杂的变量间变换功能。对于复参数s，函数

f(t)*e(?st)于（-∞，+∞）的积分，称为函数f(t)的（双边）拉普拉斯变换，简称拉氏变换。如果是在[0,+∞)积分，称为单侧拉普拉斯变换，用F(s)表示，它是一个复变函数。设一个系统的输入函数为x(t)，输出函数为y(t)，则y(t)的拉氏变换Y(s)与x(t)的拉氏变换X(s)的商：W(s)?Y(s)X(s)称为这个系统的传递函数。传递函数是由系统的性质决定的，是独立的输入量。了解了传递函数的概念后，就能够已知输入量求得到输出量，也可以根据输出量的要求得出输入量。不难看出有关传递函数的理论在现代的控制理论扮演着重要的角色。

能观测性考察的是系统的输出量y对状态量x的观察能力。 与能控性对应，能观测性也有三种判断规则：

?C??CA??:?Q?1、利用能观测性的判定矩阵来判断。g??满秩。

?:??CAn?1???2、利用对角约当规范型来判断。为了加深对对角约当规范型的理解，这里首先详细介绍一下约当阵。约当阵的数学定义：矩阵A具有n个特征值，它的前m个特征值是相同的，

24