10112108-盛守荣-矩阵函数以及应用-邱玉文

天津科技大学2014届本科生毕业设计

ikk证(1)因为e??A，将k分为偶数?k和奇数?k?1，则有

k?0k!iA??ikk?i2k2ki2k?1 e??A??A??A2k+1

k?0k!k?0?2k?!?k?0??2k?1?!iA??1?2k???1??A??A2k?1 ??k?0?2k?!k?0?2k?1?!?kk ?cosA?isinA

(2)同(1)证可得e?iA?cosA?isinA

1iA?iA?e?e? 21两式相减得sinA??eiA?e?iA?

2i两式相加得cosA?(3)因为sinA???A2k?1，所以sin??A?????A?k?0?2k?1?!k?0?2k?1?!?k???1?k???1?k2k?1

??1?A2k，所以

???A2k?1??sinA，又因为cosA??k?0?2k?1?!k?0?2k?!??1????1?A2k?cosA2kcos??A????A? ???2k!2k!????k?0k?0?kk??1?k(4)若AB?BA，得

1cos?A?B??ei?A?B??e?i?A?B?

21 ??eiAeiB?e?iAe?iB?

2iA?iAiB?iBiA?iAiB?iB1??e?e??e?e??e?e??e?e??? ????2?22????iA?iAeiA?e?iAeiB?e?iB?e?e?eiB?e?iB ? ?222i2i

?cosAcosB?sinAsinB

同理可证 sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB

3 矩阵函数的计算

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矩阵函数的计算问题是矩阵的实际应用的一个关键问题。物理学中的矩阵函数的计算，统计和模拟电路有许多实际的应用，例如，被要求限定入口，行列式的逆矩阵的迹和高阶矩阵值等。[13]和矩阵函数相关的计算问题将会在本文中进行研究。矩阵函数的计算方法虽然多种多样，但是想通过定义求解矩阵函数的过程很困难。本文主要研究了最有代表性四种方法．四种方法是不同的，这涉及到微分方程的求解、Jordan标准化形式、特征多项式等一些知识。所以，研究如何方便地计算矩阵函数对于解决实际生活中的实际问题具有非常重要的意义。为此，我们介绍下列几种常用的算法。在前一章中通过利用收敛矩阵幂级数的和定义了矩阵函数f(A),在具体应用中，需要求出f(A)所代表的具体矩阵，即求出矩阵函数的具体值。本章介绍了几种求矩阵函数的方法，为了简化运算以下式中出现的矩阵函数均假设为收敛的矩阵幂级数。 3.1 利用Hamiltio-Cayley定理求矩阵函数

定理 (Hamilton-Cayley) 设A∈Mn(F), f(?)=|?In?A|是A的特征多项式，则

f(A)?An?(a11?a22???ann)An?1???(?1)n|A|In?0.

为了便于后面的理解，这里作一点简单的证明。

证 设B(?)是?In?A的伴随矩阵，则根据伴随矩阵的定义有：

B(?)(?In?A)?|?In?A|In?f(?)In．

因为矩阵B(?)的元素是|?In?A|的各个代数余子式，都是?的多项式，其次数不超过

n?1．因此由矩阵的运算性质，B(?)可以写成

B(?)??n?1B0??n?2B1???Bn?1．

其中B0，B1，?，Bn?1∈Mn(F)．

再设f(?)??n?a1?n?1???an?1??an，则

f(?)In??nIn?a1?n?1In???anIn． (1) 于是

B(?)(?In?A)?(?n?1B0??n?2B1???Bn?1)(?In?A)

??nB0??n?1(B1?B0A)??n?2(B2?B1A)????(Bn?1?Bn?2A)?Bn?1A

(2)

比较(1)和(2)，得

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?B0?In?B?BA?aI01n?1?B2?B1A?a2In ??????????． (3)

??Bn?1?Bn?2A?an?1In???Bn?1A?anIn用An，An?1,?,A,In依次从右边乘(3)的第一式，第二式，?，第n式，第n+1式，得

?B0An?An?BAn?1?BAn?aAn?101?1n?2?B2A?B1An?1?a2An?2? ????????????． (4)

?Bn?1A?Bn?2A2?an?1A???Bn?1A??nIn把(4)的n+1个式子相加，左边变成零，右边就是f (A)，故f(A)=0．

为了继续研究的需要，在这里对上文中提到的伴随矩阵的概念作简单的介绍。根据线性代数的知识体系，任何一个方阵的伴随矩阵其实是一个和矩阵逆矩阵相似的概念。假如一个矩阵是可逆的，可以得到它的伴随矩阵和它的逆矩阵之间是一种倍数的关系。但是，伴随矩阵对于不可逆的矩阵也有定义，而且不需要用除法。矩阵A的伴随矩阵可以按下面的方法定义：1.把矩阵的每一个元素都换成与之匹配的代数余子式；（代数余子式的定义：在一个n阶行列式A中,把组成的元

阶行列式叫做

元元

所在的第行和第列的全部元素去掉，剩下的所有元素的余子式，记着

;即

，

就叫做

的代数余子式）注意：前面求得的是一个具体的数而不是一个矩阵。2.将（1）中

求得的矩阵转置就是A的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素

对应的第行和第列得到的新行列式D1代替aij，这样就不用转置了）

例 设A是n阶可逆矩阵，则A?1?g(A)，其中g(?)是一个n－1次多项式． 证 设A的特征多项式为

|?In?A|??n?a1?n?1???an?1??an，

通过Hamilion-Cayley定理，可以得到

An?a1An?1???an?1A?anIn?O．

因为A是可逆矩阵，所以an?(?1)n|A|?0，于是上式可化为

?1(An?1?a1An?2???an?1In)A?In， an11

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这表明

A?1??1(An?1?a1An?2???an?1In)?g(A)， an1n?1(??a1?n?2???an?1)是一个n－1次多项式． an其中，g(?)??设F是一个数域，?是文字，求多项式环F[?]，一个给定的矩阵若它的元素都是关于

?的一个多项式，即F[?]的所有元素，这个矩阵就被称作??矩阵.因为存在于数域P中的

元素也是P[?]的数，所以在??矩阵中也包含了以数为元素组成的矩阵.为了与原有的??矩阵区别开来，我们称数域P中的数为元素组成的矩阵为数字矩阵.在接下来的文章中就用A(?),B(?),?等表示??矩阵.

上面提到的多项式环中的环其实是一种代数结构。在抽象代数里，代数结构（algebraic structure）是指至少具备两个的计算（最常用的操作，可以存在无数个计算）的非空集合。一般研究的代数结构有群、环、域、格、模、域代数和向量空间等等。对于非空集合R，如果定义了两种代数运算+和*（不一定就是代数中加法与乘法的含义），并且满足下面的条件：1）集合R在运算+下能组成阿贝尔群（Abel）。2）*具有封闭性，就是对于任意的a∈R,b∈R，总是有a*b∈R。3）运算符*下有分配律和结合律，即对于任意的a∈R，b∈R和c∈R，总有：a*（b+c）=a*b+a*c，（b+c）*a=b*a+c*a，（a*b）*c=a*（b*c），我们就把R称作环（Ring）。所以满足上述定义的多项式就被称为多项式环。

我们清楚，P[?]中的元素能进行加或者减或者乘三种计算，并且它们的计算和数的运算规律是相同的.矩阵的加法和乘法的定义中使用的元素的加法和乘法，所以它可以类似地定义??矩阵的加法和乘法，和数字矩阵运算的算法规则相同。

通过行列式的本质，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，同理也能定义n?n的

??矩阵行列式.一般来说，??矩阵的行列式也是一个多项式，它和数字矩阵的行列式具有同样的性质。

定义 一个n?n的??矩阵A(?)称为可逆的，如果有一个n?n的??矩阵B(?)使 A(?)B(?)?B(?)A(?)?E, (1) 这里E是单位矩阵.适用(1)的矩阵B(?)(它是唯一的)被称作A(?)的逆矩阵，记作

A?1(?).

?0A?例 已知???11?At?,求e。 0?2解 A的特征多项式为?I?A???1,通过Hamiltio-Cayley定理有：A2?I?0,即

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