河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(文)试卷(含答案)

若为偶数，则若为奇数，则∴

.

，∴，∴

， ，∴

，

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用． 20.已知(1)求(2)若

中，角的值； ，求的值.

.

所对的边分别是

，且

，其中是

的面积，

.

【答案】（1）； （2）【解析】 【分析】

（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果，，进一步建立等量关系求出结

果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果． 【详解】∵即又

，∴

，故

，得，所以

，

，

，

.

(2)由(1)得

，所以

，所以

，得

.

①，

，得

，

在中，由正弦定理，得

，

，则

，即②，

，所以

.

联立①②，解得

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型． 21.已知函数(1)当(2)设

时，求函数

，不等式

的单调区间；

对任意的

恒成立，求实数的取值范围.

.

【答案】（1）当递减区间为【解析】 【分析】

时，，

在定义域； （2）

单调递减；当

.

时，函数的单调递增区间为，

（1）求出函数的导数，分为意的

，恒有

和两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任

成立，即

，根据

，

分离，从而求出的范围即可． 【详解】(1)函数定义域为令当当

，得时，时，由

，，函数，得

，且， 在定义域

；由

单调递减；

，得

，

或

. ， ，

所以函数的单调递增区间为，递减区间为

综上所述， 当当

时，

在定义域

单调递减；

，递减区间为单调递减，所以当

，时，

.

，

时，函数的单调递增区间为时，函数

.

在区间

(2)由(1)知当

问题等价于：对任意的

.

因为设

，则，则当

时，

，恒有成立，即

，∴

取得最小值.

， ，

所以，实数的取值范围是

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题． 22.已知函数(1)若

，当

(其中

，是自然对数的底数).

与2的大小；

时，试比较

(2)若函数有两个极值点

； （2）

，求的取值范围，并证明：.

.

【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而比较大小即可；（2）问题转化为方程【详解】(1)当由于所以从而(2)函数设当当

在

有两个根，设时，，故

，即为增函数，故

是

，根据函数的单调性，结合函数图象证明即可． ，则，于是

在，令在

，

为增函数， 恒成立， .

的两个根，即方程

有两个根， ，

有两个极值点，，则，则

，

，函数，函数

单调递增且

时，时，

；当时，，函数单调递增且；，如

单调递增且；要使方程有两个根，只需

图所示：

故实数的取值范围是

，又由上可知函数

的两个极值点，满足

，由

得，

∴，由于，

故，所以.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、二次函数的值域、

不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属于难题，通过对导函数进行求导，判断导函数的单调性，得到其与0的关系是解题的关键.