（浙江专版）2019年高中数学 第一章 计数原理 课时跟踪检测（三）排列与排列数公式 新人教A版选修2-3

（浙江专版）2019年高中数学 第一章 计数原理 课时跟踪检测（三）

排列与排列数公式 新人教A版选修2-3

1．下面问题中，是排列问题的是( ) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合

解析：选A 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．

2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 B．120 C．72 D．24

解析：选D 先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A4＝24(种)方法，故选D.

3．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( ) A．Am B．Am

C．Am＋20 D．A错误!

解析：选D 因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21个因式．所以m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)＝Am＋20.

A7－A6

4．计算：4＝( )

A5A．12 B．24 C．30 D．36

解析：选D A7＝7×6×A5，A6＝6×A5， A7－A6

所以原式＝4＝36.

A5

5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )

A．6种 B．30种 C．360种 D．A6种

解析：选D 问题为6选5的排列即为A6. 6．计算：5A5＋4A4＝________. 解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：348

3

2

5

5

6

56

4

5

4

6

5

21

202

21

3

7．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．

解析：画出树形图如下：

可知共12个． 答案：12

8．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．

解析：根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A6＝360种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作，有A5＝60种，乙从事翻译工作，有A

4

3

3

5＝60种，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360－60－60＝240种．

答案：240

9．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；

(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长． 解：(1)四名同学站成一排，共有A4＝24个不同的排列，它们是： 甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲； 丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲； 丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．

(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A5＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.

Ax－Ax10．(1)解关于x的方程：＝89； 5

Ax(2)解不等式：A9>6A

7

7

5

2

4

xx－2

9.

5

解：(1)法一：∵Ax＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·Ax， (x－5)(x－6)Ax－Ax∴＝89. 5

Ax∵Ax>0，∴(x－5)(x－6)＝90.

5

5

5

故x＝－4(舍去)，x＝15.

Ax－Ax75

法二：由＝89，得Ax＝90·Ax， 5Ax即

7

5

x！

＝90·. (x－7)！(x－5)！

x！

190∵x！≠0，∴＝，

(x－7)！(x－5)(x－6)·(x－7)！∴(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15. 9！6·9！

(2)原不等式即>，

(9－x)！(9－x＋2)！

??0≤x≤9，

由排列数定义知?

?0≤x－2≤9，?

2

∴2≤x≤9，x∈N.

化简得(11－x)(10－x)>6，∴x－21x＋104>0， 即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13. 又2≤x≤9，x∈N，∴2≤x<8，x∈N. 故x＝2,3,4,5,6,7.

层级二 应试能力达标

1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )

A．2 B．4 C．12 D．24

解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A4＝12. 2．下列各式中与排列数An相等的是( ) A.

m2

*

*

*

n！

B．n(n－1)(n－2)…(n－m)

(n－m＋1)！

nAmn－11m－1C. D．An·An－1 n－m＋1

n！(n－1)！n！m1m－1

解析：选D ∵An＝，而An·An－1＝n·＝，(n－m)！[(n－1)－(m－1)]！(n－m)！

∴An＝An·A

m1

m－1

n－1，故选D.

3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )

A．6 B．9

C．12 D．24

解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.

4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )

A．34种 B．48种 C．96种 D．144种

解析：选C 程序A有A2＝2(种)排法，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A2A4＝48(种)，

∴由分步乘法计数原理得，实验编排共有2×48＝96(种)方法． An5．满足不等式5>12的n的最小值为________．

An7

2

4

1

n！(n－5)！

解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，

(n－7)！n！

所以n>9，

又n∈N，所以n的最小值为10. 答案：10

6．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．

解析：画出树形图，如下：

*

由树形图可知，共有11种不同的试种方案． 答案：11

7．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？

解：由题意可得An＋2－An＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14. 所以原有车站14个，现有车站16个．

8．规定Ax＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且Ax＝1，这是排列数An(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．

(1)求A－15的值；

(2)确定函数f(x)＝Ax的单调区间．

解：(1)由已知得A－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.

(2)函数f(x)＝Ax＝x(x－1)(x－2)＝x－3x＋2x，则f′(x)＝3x－6x＋2. 3＋33－3

令f′(x)>0，得x>或x<，

33所以函数f(x)的单调增区间为 3－3?3＋3?

－∞，，?，＋∞?；

3?3?3－33＋3

令f′(x)<0，得

33所以函数f(x)的单调减区间为?

3

3

2

2

3

3

3

22

m0

m?3－33＋3?

，?.

3??3