上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题

浦东新区2018学年度第二学期高中教学质量检测

高三数学试卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合A?2. 若行列式

（5,7] . ?xx?5?，集合B??xx?7?，则A?B? 8?0，则x? 3 . 121?2i3. 复数z?的虚部为 -1 （其中i为虚数单位）.

i4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三

角形，那么一共可作 220 个三角形.（结果用数值表示）

5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大

为原来的___5____倍.

6. 已知函数f(x)=sin2?x???,???0?是偶函数，则?的最小值是____7. 焦点在x轴上，焦距为6，且经过点(2x?1?____. 45,0的)双曲线的标准方程为

x2y2??1 . 54?1,??38. 已知无穷数列?an?满足an???1,??2n?19. 二项式(2x??1?n?2018?,?n?2019?,则liman?___0____.

n??16)展开式的常数项为第____4_____项. 2x10. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的

最大值为_____12.3_____.（精确到小数点后一位） BE?EC,DF?3FA,若在正方形边上恰有6个不同的点11. 已知正方形ABCD边长为8，

（-1,8）________. P，使PEPF??，则?的取值范围为_____

212. 已知f(x)?2x?2x?b是定义在[-1,0]上的函数, 若f[f(x)]?0在定义域上恒成立，

1

而且存在实数x0满足：f[f(x0)]?x0且f(x0)?x0，则实数b的取值范围是 [?解析：因为f(x)min?f(?)?b?13,?）___ 28121，f(x)max?f(0)?f(?1)?b， 21?1??1?b??0?b?[?,0]时满足f[f(x)]?0； 所以?22??1?b?0?设f(x0)?y0，则f(y0)?x0且y0?x0，

2所以函数f(x)?2x?2x?b图像上存在两点关于直线y?x对称，

令l:y??x?m

由??y??x?m2?y?2x?2x?b?2x2?3x?b?m?0

设M(x1,y1)、N(x2,y2)为直线与抛物线的交点，线段MN中点为E(xE,yE)，

???9?8(b?m)?0333?所以?，所以E(?,?m)，而E在y?x上，所以m??， 3x1?x2??442??23?0在[?1,0]有两不等的实数根， 23???9?8(b?)?0?2??h(?1)?b?1?0?13322令h(x)?2x?3x?b?，所以??b?[?,?)。

228?h(0)?3?b?0?2?3??1???1?4从而2x?3x?b?2二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ B ）

（A） （B） （C） （D）

2

14. 点P?2,0?到直线?（A）

?x?1?4t,（t为参数，t?R）的距离为（ D ）

?y?2?3t,34611 （B） （C） （D） 5555?x?y?50?2x?5y?200?15. 已知点P(x,y)满足约束条件：?，则目标函数z?x?y的最小值为

0?x?40???y?0（ B ）

（A）40 （B）?40 （C）30 （D）?30

?16. 已知f(x)a|?xb?|，c则对任意非零实数a,b,c,m,n,t，方程

mf2(x)?nf(x)?t?0 的解集不可能为（ D ）

（A）{2019} （B）{2018,2019} （C）{1,2,2018,2019} （D）{1,9,81,729} 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出

必要的步骤．

17. （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）

已知，正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?2AC?2，延长CB至D，使CB?BD。 （1）求证：CA?DA1；

（2）求二面角B1?AD?C的大小。 （结果用反三角函数值表示）

解：（1）因为是正三棱柱ABC?A1B1C1，

所以AA1?CA

A1B1C1A且

CBAB?BC，

D?BAC??BCA?60? ………1分

从而?DBA??120

又CB?BD

所以AB?BD，?DAB?30 ………1分 ?DAC??DAB??BAC?90 ………1分 即DA?CA ………1分 ?CA?平面A1AD ………1分

3

??? ?CA?DA1 ………1分

（2）解法一：

取AD中点E，联结B1E. 所以BE//AC，………1分 又DA?CA，故DA?BE 因为BB1?平面ABC 所以DA?BB1………1分

A1B1C1 从而DA?平面BB1E ?DA?B1E………2分 所以?BEB1为二面角B1?AD?C的平面角. …2分 因为BE?11AC? , BB1?2 22ACB 所以tan?BEB1?BB1?4， ………1分

DBEE 二面角B1?AD?C的大小为arctan4………1分

解法二：

以直线AD为x轴，直线AC为y轴，直线AA1为z轴 建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B1(zA1B1C131,,2),D(3,0,0) 22 AD?(3,0,0),AB1?(31,,2)………2分 22?ADBCy 设平面AB1D的一个法向量n1?(u,v,w)

??AD?n3u?01?? 则? ?1?AB1?n1?v?2w?02??x 令w?1，则v??4，所以n1?(0,?4,1)………2分 又平面ACB的一个方向量n2?(0,0,1)………1分 设n1与n2的夹角为?

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