河北省唐山市2019届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

【分析】几何体为两个尖头圆柱的组合体．它们可以组合成高为8的圆柱．

【解答】解：由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为8的圆柱，

圆柱的底面半径为1，

所以几何体的体积为π×12×8=8π． 故选A．

11．F为双曲线Г：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为

等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（ ） A．

B．

C．

D．2

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】先确定等边三角形的边长和点P横坐标，求出点P到右准线的距离d，利用双曲线定义解出离心率e．

【解答】解：不妨设F为右焦点，△OPF（O为坐标原点）为等边三角形， 故点P横坐标为，∴点P到右准线的距离d=﹣

=

，△OPF边长为c，

∴e==∵e＞1，∴e=故选：C

+1，

12．数列{an}的通项公式为an=①{an}为先减后增数列； ②{an}为递减数列； ③?n∈N*，an＞e； ④?n∈N*，an＜e

其中正确的序号为（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ 【考点】数列的函数特性． 【分析】数列{an}的通项公式为an=可得出．

【解答】解：数列{an}的通项公式为an=∴an＞0，

=

?

，关于{an}有如下：

D．②④

，可得此数列为单调递减有下界e数列，即

，

，

可得：a1＞a2＞a3…． 关于{an}有如下：

①{an}为先减后增数列，不正确； ②{an}为递减数列，正确； 由于

an=e，

③?n∈N*，an＞e，正确； ④?n∈N*，an＜e，不正确． 故正确答案为：②③． 故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13．在等差数列{an}中，a4=﹣2，且al+a2+…+a10=65，则公差d的值是【考点】等差数列的通项公式．

【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【解答】解：在等差数列{an}中，a4=﹣2，且al+a2+…+a10=65， ∴a1+3d=﹣2，10a1+解得d=

．

．

d=65，

．

故答案为：

14．1000名考生的某次成绩近似服从正态分布N，则成绩在630分以上的考生人数约为23．（注：正态总体N（μ，σ2）在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】根据正态分布，求出μ=530，σ=50，在区间的概率为0.954，由此可求成绩在630分以上的考生人数．

【解答】解：由题意，μ=530，σ=50，在区间的概率为0.954． ∴成绩在630分以上的概率为

=0.023．

∴成绩在120分以上的考生人数约为1000×0.023=23． 故答案为：23．

15．已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称．若g（1）=4．则f（﹣3）=﹣2．

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】求出（1，4）关于直线y=x+1的对称点，代入f（x），利用f（x）的奇偶性得出．

【解答】解：设A（1，4），A关于直线y=x+1的对称点为A'（a，b）．则，

解得．

∵函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称，g（1）=4， ∴f（3）=2，∵f（x）为奇函数，∴f（﹣3）=﹣2． 故答案为﹣2．

16．一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有48对． 【考点】计数原理的应用．

【分析】作出图形，即可得出结论．

【解答】解：如图所示，由题意，AB与AE，BE，BC，AC，CF，CD，ED，EF所成角为60°，共8对，

每条棱有八对，12条棱共有：12乘以8再除以2=48对， 故答案为：48．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ．

（Ⅰ）求用含θ的代数式表示DC； （Ⅱ）求△BCD面积S的最小值．

【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（I）在△ADC中，使用正弦定理解出DC；

（II）在△ABC中，使用正弦定理解出BC，代入三角形的面积公式计算． 【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，∠ADC=360°﹣90°﹣120°﹣θ=150°﹣θ， 由正弦定理可得于是：DC=

=．

=，

，即BC=

，

，即

=

，

（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得由（Ⅰ）知：DC=

∴S==

=．

=

故θ=75°时，S取得最小值6﹣3．

18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的交点．

（Ⅰ）求证：O1M⊥平面ACM；

（Ⅱ）求AD1与平面ADM所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）计算AM，AO1，MO1，CM，CO1，根据勾股定理的逆定理得出AM⊥O1M，CM⊥O1M，于是O1M⊥平面ACM；

（2）连结BD交AC于点O，连接OO1，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面ADM的法向量，则|cos＜

，＞|即为所求．

【解答】证明：（Ⅰ）连接AO1，CO1，

∵直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD=60°，M为BB1的中点， ∴O1B1=1，B1M=BM=1，O1A1=，

∴O1M2=O1B12+B1M2=2，AM2=AB2+BM2=5，O1A2=O1A12+A1A2=7， ∴O1M2+AM2=O1A2，∴O1M⊥AM． 同理：O1M⊥CM，

又∵CM∩AM=M，AM?平面ACM，CM?平面ACM， ∴O1M⊥平面ACM．

（Ⅱ）连结BD交AC于点O，连接OO1，

以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则A（，0，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，2），M（0，1，1）， ∴

=（﹣

，﹣1，2），

=（﹣

，﹣1，0），

=（0，2，1），

设平面ADM的一个法向量=（x，y，z）， 则

，∴

．令x=1，得=（1，﹣

，2

）．

∴， =4，||=4，||=2，