2013年中考数学攻略 专题2 待定系数法应用探讨

∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2， 把P（∴y=由

334，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。 2234x﹣2。 3472

x﹣2=x﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。 334710此时y=??2=。

339710∴M′（，。 ）

39②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=12+22=5。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC，

45， 545AD5ADDE∴，即，解得AD=2。 ==2ACOC5∴D（1，0）或D（﹣3，0）。

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图

则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时，即x+x+4=0，方程无实数根，

2

2

?1?17?1+17。 ，x2?22?1?17?1+17∴点M的坐标为（。 ， 3+17）或（， 3?17）22当﹣2x+2=x﹣x﹣2时，即x+x﹣4=0，解得x1?2

2

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。

（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。 （3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位

角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析

式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三

角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

练习题：

1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本3生产数量）

2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数y=?2x?2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB3为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．

3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】 A．y=40011001 B．y= C．y= D．y=

4x400xxx2

4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax＋bx＋c的解析式； ①y随x变化的部分数值规律如下表：

x y －1 0 0 3 2

1 4 2 3 3 0 ②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax＋bx＋c； ③已知函数y=ax＋bx＋c的图象的一部分（如图）．

2

(2)直接写出二次函数y=ax＋bx＋c的三个性质．

5. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，

3)，

与x轴交于A、B两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使 得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切；

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．

五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式

an?a1??n?1?d?dn?a1?d (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函

数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,?an满足an?an?1?kn?b (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项an?an2?bn?c是关于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。

典型例题：

例1：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示：

年份 届数 1896 1 1900 2 1904 3 ? ? 2012 n 表中n的值等于 ▲ ． 【答案】30。

【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。

【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为y=kx+b。

?k+b=1896?k=4 将（1，1896），（2，1900）代入，得?，解得?。

2k+b=1900b=1892?? ∴y=4x+1892。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为y=4x+1892。