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一、两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tanA?tanBtan(A+B) =
1-tanAtanBtanA?tanBtan(A-B) =
1?tanAtanBcotAcotB-1cot(A+B) =
cotB?cotAcotAcotB?1cot(A-B) =
cotB?cotA推导:
1、应用三角函数线推导差角公式的方法
设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.
过点P作PM⊥x轴,垂足为M,那么OM即为α-β角的余弦线,这里要用表示α,β的正弦、余弦的线段来表示OM.
过点P作PA⊥OP1,垂足为A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,再过点P作PC⊥AB,垂足为C,那么cosβ=OA,sinβ=AP,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.
综上所述,.
说明:应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了,构思巧妙,容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路,存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在问题.
均为锐角的情况下进行的证明,因此还要考虑
的角度从锐角向任意角的推广
α、β是两个任意角,把α、β两个角的一条边拼在一起,顶点为O,
过B点作OB的垂线,交α另一边于A,交β另一边于C,则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..
2、设
根据三角形面积公式,有,
∴.
∵,,,
∴,
∵,∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.
或者:sin(a+b)=cos[(π/2)-(a+b)]=cos[(π/2-a)-b]=cos(π
/2-a)cosb-sin(π/2-a)sinb
=sinacosb-cosasinb(就是利用π/2的诱导公式)
3、
tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(sinacosb+cosasinb)/(cosacosb-sinasinb) 分
子分母同除以cosacosb 得(tana+tanb)/【1-tanatanb】 二、倍角公式
2tanAtan2A = 21?tanASin2A=2SinA?CosA
Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A
1、公式
sin2α=2sinα·cosα
推导过程
sin2α=sin(α+α)=sinα·cosα+cosα·sinα=2sinα·cosα
2、公式
余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价: cos2α=2cos2α-1 cos2α=1-2sin2α cos2α=cos2α-sin2α
推导过程
cos2α=cos(α+α)=cosα·cosα-sinα·sinα=cos2α-sin2α=2(cos2α)-1 =1-2(sin2α)
3、正切二倍角公式
tan2α=2tanα/[1-tan2α] 推导过程:
tan2α=sin2α/cos2α=2sinα·cosα/cos2α-sin2α=[2sinα·cosα/cos2α]/[cos2α-sin2α/cos2α]=2tanα/[1-tan2α]
三、半角公式
(正负由所在的象限决定)
(正负由所在的象限决定)
(正负由所在的象限决定)
推导过程:
……①
sin
由等式①,整理得: 将 代入α,整理得:
开方,得
cos
在等式①两边加上1,整理得: 将代入 ,整理得:
开方,得
tan
sina=cos(π/2-a)
注:
四、三倍角公式(常用)四、五、六、七、八、九、十、N倍角公式(不常用)
sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA
??tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)
33
推导: sin3a =sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa
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