三角函数推导，公式应用大全，实例

一、两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tanA?tanBtan(A+B) =

1-tanAtanBtanA?tanBtan(A-B) =

1?tanAtanBcotAcotB-1cot(A+B) =

cotB?cotAcotAcotB?1cot(A-B) =

cotB?cotA推导：

1、应用三角函数线推导差角公式的方法

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．

过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．

综上所述，.

说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在问题.

均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑

的角度从锐角向任意角的推广

α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，

过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..

2、设

根据三角形面积公式，有，

∴.

∵，，，

∴，

∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.

或者：sin(a+b)=cos[(π/2)-(a+b)]=cos[(π/2-a)-b]=cos(π

/2-a)cosb-sin(π/2-a)sinb

=sinacosb-cosasinb（就是利用π/2的诱导公式）

3、

tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(sinacosb+cosasinb)/(cosacosb-sinasinb) 分

子分母同除以cosacosb 得(tana+tanb)/【1-tanatanb】 二、倍角公式

2tanAtan2A = 21?tanASin2A=2SinA?CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

1、公式

sin2α=2sinα·cosα

推导过程

sin2α=sin(α+α)=sinα·cosα+cosα·sinα=2sinα·cosα

2、公式

余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价： cos2α=2cos2α-1 cos2α=1-2sin2α cos2α=cos2α-sin2α

推导过程

cos2α=cos(α+α)=cosα·cosα-sinα·sinα=cos2α-sin2α=2(cos2α)-1 =1-2(sin2α)

3、正切二倍角公式

tan2α=2tanα/[1-tan2α] 推导过程：

tan2α=sin2α/cos2α=2sinα·cosα/cos2α-sin2α=[2sinα·cosα/cos2α]/[cos2α-sin2α/cos2α]=2tanα/[1-tan2α]

三、半角公式

（正负由所在的象限决定）

（正负由所在的象限决定）

（正负由所在的象限决定）

推导过程：

……①

sin

由等式①，整理得： 将 代入α，整理得：

开方，得

cos

在等式①两边加上1，整理得： 将代入 ，整理得：

开方，得

tan

sina=cos（π/2-a）

注：

四、三倍角公式（常用）四、五、六、七、八、九、十、N倍角公式(不常用)

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA

??tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)

33

推导： sin3a =sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa