10.三阶幻方的简单应用

5、三阶幻方的简单应用

幻方的应用主要是根据幻方的特征把残缺的幻方填写完整，或者对幻方进行适当变换。幻方的三个主要特征有：（1）幻和÷阶数＝中心数；（2）幻方具有对称性；（3）幻方具有轮换性。

例1、下图A是一个三阶幻方，已经填好了6、15、28三个数，根据幻方的性质把幻方填写完整。

【分析与解答】根据幻和的计算公式，可知每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都是中心数的3倍，因此这个幻方的幻和是：15×3＝45。

这样就可以得第一列第三行是45－28－6＝11；第二行第三列是45－28－15＝2；第三行第三列是45－6－15＝24（图B）。

第三行第二列是45－11－24＝10；第三列第一行是45－24－2＝19（图C）。 最后填写第一行第二列：45－6－19＝20或者45－10－15＝20（图D）。 这是我们根据幻和的计算公式填写幻方的一个例子，这个例题的特点是已知三个数，且中心数是已知。如果已知两个数与幻和，或者只有幻方中的两个数，求指定格子里的数是多少，又该怎么办呢？

例2、下图A是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都是2037，已经填好了447和894两个数，图中m是多少？

【分析与解答】由幻和是2037，可以求出中心数是2037÷3＝679（图B），第二列第一行是2037―679―894＝464（图C），第一行第三列的m＝2037―447―464＝1126（图D）。

例3、下图（甲）是一个三阶幻方，它的每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等，图中K是多少？

【分析与解答】为了叙述方便，我们把中心数假设成A，第一行第三列假设成B。（见图乙） 根据幻和的特点，因为A＋13＝K＋B，所以A＝K＋B－13； 又因为A＋K＝B＋19，所以A＝B＋19－K；

因此，K＋B－13＝B＋19－K （等式两边同减去B，再加上K，最后再加上13） 2K＝19＋13 K＝16

由于题目只要求K的值，其它空格就不必再填了。

例4、为了下图A中的每一行、每一列、每条对角线上三个数的乘积都相等，空格中应该填上哪些数？

【分析与解答】从图A中可以看出，每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12＝216。 第一列第一行是：216÷12÷1＝18； 第二列第三行是：216÷1÷6＝36（图B）； 第一列第二行是：216÷18÷3＝4； 第三列第三行是：216÷18÷6＝2（图C）； 第二列第二行是：216÷4÷6＝9（图D）；

请注意观察，图D中所填的这些数都是哪个数的因数（约数）？这个结论后面的练习用得上。 在幻方（一）中，我们初步了解了在已经编排好的三阶幻方中，都可以对它的数字进行适当的旋转与对调，从而得到其它七个图形。究竟如何进行旋转与对调呢？

例5、根据下图A的三阶幻方，再写出其他七个三阶幻方。

【分析与解答】

（一）旋转：把图A顺时针旋转900，然后把图中的数字按水平视觉的角度重新写出来，就得到图B；用同样的办法旋转图B就可以得到图C，旋转图C就可以得到图D。

（二）对称：将图A中的一条对角线（比如2、5、8）为对称轴，把对称轴两边的六个数分别进行对称交换，就可以得到图E；用同样的办法图B经过对称交换可以得到图F；图C经过对称交换可以得到图G；图D经过对称交换可以得到图H。

例6、把4～12这九个数填入下图方格中，使每一行、每一列及两条对角线上的三个数中，两端之和减去中间的数所得到的差都相等（九宫差阵）。

【分析与解答】其实上九宫差阵可以由前面学过的三阶幻方（九宫和阵）得到，请注意观察：

（1）用“罗伯法”编排三阶幻方，（2）第二列上、下数对调，（3）第二行左、右互换。

也可以先编排好三阶幻方，然后把四个角上的数进行对角互换（图甲 图乙）。