高二数学复合函数的导数

常见函数的导数

(C)??0 (x?)???x??1（α为常数） (ax)??axlna(a?0，a?1) (logax)??111logae?(a?0，a?1) 注：当a=e时，(ex)??ex (lnx)?? xxlnax(sinx)??cosx (cosx)??－sinx

从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

例1、求下列函数导数。

1(4)()?? (2)(x2)??(1)(?2x?3)??(4)x??x

(2)(?2x)??(5)(x?5)?? (3)3??(6)(?4)?? x3' 1(1)y?x4(3)y? (5)y?sin450?3(6)u?cosv(2)y?xx

??

练习：（1）y?x （2）、y?4 （3）、y?（4）、y?ogl、y?3x （5）

?5xxxx

?1(x?0，a?0，a，x?1) 1oglx()a??（6）、y=sin(+x) (7)y=sin （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=f?(1)

231:求过曲线y=cosx上点P( ) 的切线的直线方程.

2

2:若直线y=4x+b是函数y=x图象的切线,求b以及切点坐标.

3

3．若直线y=3x+1是曲线y=ax的切线,试求a的值.

例2：已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。

例3.若直线y??x?b为函数y?1图象的切线,求b的值和切点坐标. x

变式1.求曲线y=x在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率

2

变式2:求曲线y=x过点(0,-1)处的切线方程

变式3:已知直线y?x?1,点P为y=x上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.

思考：路灯距地平面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v。

四、练习与作业： 1、函数y?52

2

x4的导数是（ ）

1?13234?14A．x B．x C．x5 D．?x5

55551212、曲线y?x在点(1,)处切线的倾斜角为（ ）

223、曲线y?x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形面积为__________．

14．直线y?x?b能作为下列函数y?f(x)图象的切线吗？，若能，求出切点坐标，若不能，简述

2理由。 （1）f(x)?

x5．求曲线f(x)?e在x?0处的切线方程。

11x （2）f(x)?? （3）f(x)?sinx （4）f(x)?e xx

26．求曲线f(x)?lnx在（e,2）处的切线方程。

和差积商的导数

常见函数的导数公式：

C'?0；(kx?b)'?k(k,b为常数) (xn)'?nxn?1； (ax)'?axlna(a?0,且a?0)

111(a?0,且a?0) (ex)'?ex(lnx)'? (logax)'?logae?xxxlna(sinx)'?cosx； (cosx)'??sinx

法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 (u?v)'?u'?v'

法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．(Cu)'?Cu' 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv)'?u'v?uv'

法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除

以分母的平方，即

?u?u'v?uv'(v?0) ???2v?v?例1 求下列函数的导数

1．y=x+sinx的导数. 2。求y?(2x2?3)(3x?2)的导数．(两种方法)

3

'x23．y=5xsinx－2xcosx－9，求y′ 4。求y=的导数.

sinx10

5．求y=tanx的导数.

变式： (1)求y= (2) 求y=

x?3在点x=3处的导数. 2x?31·cosx的导数. x解法一： 解法二：

4?x33、求y=2的导数.

xcosx例2．求满足下列条件的函数f(x)

(1) f(x)是三次函数,且f(0)?3,f'(0)?0,f'(1)??3,f'(2)?0 （2）f'(x)是一次函数, xf'(x)?(2x?1)f(x)?1

432

例3．已知曲线C：y ＝3 x －2 x－9 x＋4

（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？

2

32

变式：已知函数f(x)=x+bx+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式

四、课堂练习：

1.求下列函数的导数：(1)y=

a?xx?21 (2)y= (3)y=tanx (4)y= 21?cosxa?x3x

五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(=

u)′vu?v?uv?(v≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.2v要将和、差、积、商的导数法则记住

六、课后作业：�タ伪綪22 1，2，3，4，5，6，及课本P26。7，8（完成到试卷反面）

复合函数的导数

一．常见函数的导数公式：

C'?0；(kx?b)'?k(k,b为常数) (xn)'?nxn?1； (ax)'?axlna(a?0,且a?0)

111(a?0,且a?0) (ex)'?ex(lnx)'? (logax)'?logae?xxxlna(sinx)'?cosx； (cosx)'??sinx

法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 (u?v)'?u'?v'

法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．(Cu)'?Cu' 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv)'?u'v?uv'

法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即

?u?u'v?uv'(v?0) ???2vv??二．新课：

由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数y?f(?)与???(x)复合而成的函数一

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