2019-2020学年高中数学选修2-2（人教A版）评估验收卷（一）

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x f′(x) f(x) (－1，0) ＋ ↗ 0 0 极大值 (0，a－1) － ↘ a－1 0 极小值 (a－1，＋∞) ＋ ↗ 可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，增区间是(－1，0)和(a－1，123

＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln a－a＋.

22

20．(本小题满分12分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关120

系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后

t＋5的时间(单位：min)．

(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(3)求T′(5)并解释它的实际意义． 解：(1)因为T(0)＝

120120

＋15＝39(℃)，T(10)＝＋15＝23(℃)． 510＋5

则T(0)－T(10)＝39－23＝16(℃)，即蜥蜴的体温下降了16 ℃. T（10）－T（0）

(2)蜥蜴体温的平均变化率为＝－1.6(℃/min)，

10－0它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.

?120?－120

＋15??(3)因为T′(t)＝t＋5′＝， ??（t＋5）2

所以T′(5)＝－

120

＝－1.2(℃/min)，它表示t＝5 min时蜥蜴体温102

的下降速度为1.2 ℃/min.

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13a2

21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x－x＋bx＋c，其中a>0.

32曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(1)确定b，c的值；

(2)若a＝4，过点(0，2)可作曲线y＝f(x)的几条不同的切线？ 1a

解：(1)由f(x)＝x3－x2＋bx＋c得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，

32又由f′(0)＝b，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0.故b＝0，c＝1.

13

(2)a＝4时，f(x)＝x－2x2＋1，f′(x)＝x2－4x，点(0，2)不在f(x)

3的图象上，设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝x20－4x0，

y0－2

＝x20－4x0，x0－0232

所以?x0－2x0＋1＝0，

312

y0＝x30－2x0＋13

???

[来源:学科网ZXXK]

上式有几个解，过(0，2)就能作出f(x)的几条切线． 2

令g(x)＝x3－2x2＋1，则g′(x)＝2x2－4x＝2x(x－2)，

3g(x)，g′(x)随x变化的情况如下： x [来源:学科网](－∞，0) ＋ ↗ 00 [来源:学科网ZXXK](0，2) － ↘ 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ ↗ g′(x) g(x) 极大值 5g极大值＝g(0)＝1>0，g极小值＝g(2)＝－<0，

3所以g(x)有三个零点，

即过(0，2)可作出f(x)的3条不同的切线．

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12

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．

2(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间；

12

(3)求证：当x>1时，x2＋ln x

23

a

(1)解：f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，

xa

所以2－＝0，所以a＝4.

2

a

(2)解：因为f′(x)＝x－，f(x)的定义域为x>0，

x所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． ax2－a（x－a）（x＋a）

当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，

xxx令f′(x)>0，得x>a，

所以函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)； 令f′(x)<0，得0

所以函数f(x)的单调递减区间为(0，a)． 2312

(3)证明：设g(x)＝x－x－ln x，

321

则g′(x)＝2x－x－，

x

2

（x－1）（2x2＋x＋1）

因为当x>1时，g′(x)＝>0，

x所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数． 1

所以g(x)>g(1)＝>0.

612

所以当x>1时，x2＋ln x

23

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