标题-2017-2018学年高中数学三维设计浙江专版必修1：第一章 1.1 集 合 - 图文

集 合

1．1.1 集合的含义与表示

第一课时 集合的含义

预习课本P2～3，思考并完成以下问题 (1)集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？ (2)元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ [新知初探]

1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． (4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．

[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．

2．元素与集合的关系

关系 属于 不属于

[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明

(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．

(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 3．常用的数集及其记法 常用的数集 记法 [小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．

( )

自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 语言描述 a是集合A中的元素 a不是集合A中的元素 记法 a∈A a?A 读法 a属于集合A a不属于集合A (2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×

2．下列元素与集合的关系判断正确的是( ) A．0∈N C.2∈Q 答案：A

3．已知集合A中含有3个元素－2,4，x2－x，且6∈A，则x的值是( ) A．2 C．3 答案：D

B．－2 D．3或－2 B．π∈Q D．－1?Z

4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素． 答案：2

集合的基本概 [例1] 考察下列每组对象，能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数；

④2016年第31届奥运会金牌获得者． A．③④ C．②③

B．②③④ D．②④

[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．

[答案] B

判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．

[活学活用] 1．给出下列说法：

①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；

④大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号)

解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．

答案：①③

元素与集合的关系 [例2] (1)下列关系中，正确的有( ) 1

①∈R；② 2?Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q. 2A．1个 C．3个

(2)集合A中的元素x满足

B．2个 D．4个

6

∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 3－x

1

[解析] (1)是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，

2①②③正确，④错误．

(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.

[答案] (1)C (2)0,1,2

判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． [活学活用]

2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，则a的值为( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选D ∵a∈A，a?B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3. 3．用适当的符号填空：

已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A；17________B.

解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z. 所以17∈A.

7令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.

3所以－5?A.

令6m－1＝17得，m＝3∈Z， 所以17∈B. 答案：∈ ? ∈

集合中元素的特性及应用 [例3] 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． [解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性， ∴a≠1；

当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1. [答案] －1 [一题多变]

1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－2.

2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得 a≠0且a≠1.

3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值． 解：由a∈A可知，

当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾， 所以a≠1.

当a＝a2时，a＝0或1(舍去)． 综上可知，a＝0.

根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤

层级一 学业水平达标

1．下列说法正确的是( )

A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素

解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．

2．已知集合A由x<1的数构成，则有( ) A．3∈A C．0∈A

B．1∈A D．－1?A

解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式． 3．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N*中最小的数是1； ②若－a?N*，则a∈N*；

③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；