2008年全国大学生数学建模竞赛D题解题思路简介

表9 部 赛季“三场队”对阵形式表

场 队 名 1次 队 队 名 1队 2队 一 3队 一区 4队 5队 1队 2队 二区 3队 4队 5队 1队 2队 三区 3队 4队 5队 2队 一区 3队 4队 5队 1队 2队 二区 3队 4队 5队 1队 2队 三区 3队 4队 5队 第二步：填表确定具体安排方案。

由于与各队对阵的“三场队”只可能分布在同部的另两区，故实际需要确定数据的只有6个5×5的子表格，实际上只需确定其中一个5×5子表（不妨取定为有阴影的区域）即可，其余5个5×5子表与之完全同形，为叙述方便，不妨称阴影区域为基础子表。

其中，初始赛季的基础子表的安排规则为：一区一队在二区的“三场队”分别定为一队和三队，且主客场场次分别确定为2：1和1：2（在相应的格子里分别标记为2-1和1-2）；一区二队在二区的“三场队”分别定为二队和四队，且主客场场次仍分别确定为2：1和1：2（表内标记同前），相当于将上面一队的安排结果在表中的第二行后移一列，该区其余各队的“三场队”均按此法则依次安排确定。并将由此得到的基础子表复制到其余5个子表处，就得到初始赛季该部“三场队”的完整对阵形式表为表10：

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表10 部 赛季“三场队”对阵形式表 场 队 1队 名 次 名 1队 2队 一 3队 一区 4队 5队 1队 2队 二区 3队 4队 5队 1队 2队 三区 3队 4队 5队

— — 2-1 — — 1-2 — — 2-1 — — 1-2 1-2 — — 2-1 — — 1-2 — 2-1 — — 2-1 2-1 — — — 1-2 — — 2-1 — — — 1-2 — — 2-1 — — 1-2 — — 一区 2队 3队 4队 5队 1队 2队 二区 3队 4队 5队 1队 2队 三区 3队 4队 5队 队 2-1 — — 1-2 — 2-1 — — 1-2 — 1-2 2-1 — — 1-2 — 2-1 — — 1-2 — — 2-1 — — 1-2 — 2-1 1-2 — 2-1 — 1-2 — 2-1 — 1-2 — 2-1 — — — 1-2 — 2-1 — — 1-2 — 1-2 2-1 — — 1-2 — 1-2 2-1 — — 2-1 — — 1-2 — — 2-1 — — 2-1 — 2-1 — — 1-2 — — 1-2 — — 2-1 — — 2-1 1-2 — 1-2 — 2-1 — — 1-2 — 2-1 — 1-2 — 2-1 — 1-2 — 1-2 — 2-1 — 1-2 — 如此安排结果的特点：

（1）各队对阵的“三场队”在各区内的分布是均衡的：每区均为2个队； （2）各队总的主、客场场次数也是均衡的：一个赛季内总的主场数与客场数是相等的；

（3）按照下面设定的赛季变换规则进行下一赛季“三场队”对阵形势的调整安排，还可保证各队的“三场队”分布在以赛季为单位间隔的时间序列上是均衡的：任何一个队的“三场队”在任何两相邻的赛季都不会连续出现；

（4）便于编排实现，可用手动方式或是用矩阵变换方式均可简易实现不同赛季安排方案的变换，并以五年为最小周期地重复；

2、后续赛季 “三场队”对阵形式表的编排方法（或称变换规则）： （1）初始赛季某部“三场队”对阵形式表的矩阵形式。 将上面初始赛季的基础子表用下列的5×5方阵表示为：

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?20100??02010???R1??00201?

??10020????01002?? 不妨称此阵为基础矩阵。其中标有数字“2”或“1”的元素表示其行、列所在队在该赛季对阵三场，且行所在队与列所在队的主客场场次数分别为2 ：1或1 ：2 ；而标有“0”的元素则表示其行、列所在队在该赛季对阵四场。则初始赛季某部的“三场队”对阵形式总表就可用分块矩阵表示为

?O?S1??R1?R?1R1OR1R1??R1? O?? （2）下一赛季“三场队”对阵形式表用矩阵的初等变换实现的变换规则： 设初始赛季“三场队”方案的基础阵为R1，下一季的基础矩阵为R2，则：

R2?T?R1 （1）

?0??0其中： T?E5(4,5)E5(3,4)E5(2,3)E5(1,2)??0??0?1?1000??0100?0010?称为基础矩阵的变换

?0001?0000??矩阵，E5(i,j)为5阶初等矩阵。即有：

?020?

?002

R2?T?R1?E5(4,5)E5(3,4)E5(2,3)E5(1,2)R1=?100

?

?010?201?

那么，下赛季该部的“三场队”对阵形式总表矩阵为：

?O?S2??R2?R?2R2OR2R2??R2?. O??10?

?01?

20? （2）

?02?00??

当然，上述过程也可进行手工操作实现：

根据矩阵的初等变换意义，由（2）式知：将R1的第一行作为R2的第五行，

R1的第二、三、四、五行作为R2第一、二、三、四行，然后总表可由前述的“分块阵”形式构成。

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另外，不难验证，变换矩阵T满足如下运算性质：

?10000???01000??5T?E5=?00100?

??00010???00001???这也从数学上证明，这种“三场队”对阵形式编排结果具有五年为最小周

期的循环性质。

（3）第 n赛季“三场队”对阵形式表用矩阵的初等变换实现的变换规则：

设第 n赛季的基础矩阵为Rn，则：

Rn?Tn?R1?Tk?R1(其中k为n除以5的整除余数) （3）

那么，第 n赛季该部的“三场队”对阵形式总表矩阵为：

?O?Sn??Rn?R?nRnORnRn??Rn?. O??

6.模型评价与改进：

优点：

1、我们通过一系列的数据分析，最后得到一个较合理的结果，根据网络信息，我们的结论具有一定的合理性与应用价值；

2、本文中进行了大量的数据处理与分析，其中所有的数据来源真实有效，所以本模型具有一定的参考价值；

3、我们给出的“三场队”对阵形式的安排方法得到的结果，比NBA的实际编排结果均衡性更好、也易于实现。 缺点：

1、我们的问卷调查仅在60人中间展开，所以不具有很强的说服力； 2、通过对赛程安排表的分析，以及对07——08赛果的考察发现，对于同部部不同区之间的16场比赛，对于各球队的最终赛果将有一定的影响，而本文的模型建立中并未将其作为一个考虑因素，故而不能用其对我们的结果进行很好的证明。

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