2008年全国大学生数学建模竞赛D题解题思路简介

其中ai表示东南区第i个球队的胜率,bj表示大西洋区第i个球队的胜率,cj表示中部区第i个球队的胜率。

引入0-1变量xij和yij，xij若选取东南区球队i和大西洋区球队j比赛3场，记xij=1，若选取东南区球队i和大西洋区球队j比赛4场则记xij=0，yij若选取东南区球队i和中部区球队j比赛3场，记yij=1，若选取东南区球队i和中部区球队j比赛4场则记yij=0。根据结论2，xij和yij应该满足以下的约束条件:

?xj?15ij?2,?yij?2,?xij?2,?yij?2,xij,yij?(0,1)

j?1i?1i?1555当选取东南区球队i和大西洋区球队j比赛3场或选取东南区球队i和中部

区球队j

比赛3场则两个球队间的差值为kijxij和mijyij于是该问题的目标函数为：

Maxz1???(kijxij?mijyij)

i?1j?155综上，这个问题的0-1规划模型可写作：

Maxz???(kijxij?mijyij)

i?1j?155?5xij?2?j??1?5??yij?2?j?1? s.t?5 （8）

?x?2?i?1ij?5??yij?2?i?1??xij,yij?(0,1)根据题目所给的附录2（2007-2008年NBA的赛绩）计算出东南区每个球员

对大西洋区每个球员的实力差矩阵??kij??5?5和东南区每个球员对中部区每个球员的实力差矩阵??mij??5?5：

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??kij??5?5?0.171?0.134???0.146??0.219??0.3540.2810.3540.4150.622?0.0240.0490.110.317??0.0360.0370.0980.305?

?0.1090.0360.0250.232?0.2440.1710.110.097???0.0860.1960.2690.330.537??0.0850.0250.0980.1590.366?????mij??5?5??0.1950.0850.0120.0490.256?

??0.2320.1220.0490.0120.219????0.3170.2070.1340.0730.134??利用lindo软件对0-1规划模型进行求解，求解程序及具体结果见附录1，表6为整理后的数据；

表6 魔术 奇才 老鹰 山猫 热火 凯尔特人 4 4 3 3 4 猛龙 4 4 4 3 3 76人 4 4 3 4 3 蓝网 3 3 4 4 4 尼克斯 3 3 4 4 4 活塞 4 4 4 3 3 骑士 4 4 4 3 3 步行者 4 3 3 4 4 公牛 3 3 4 4 4 雄鹿 3 4 3 4 4 同样利用此模型对其它两个区的选择进行计算，得到结果见附录2。因为西部的选择原则和东部一样，所以不进行具体的排列。

5.3.3 对所设计的选队方法进行评价

利用lindo软件求解的结果显示实力差最大值为z=4.758利用Z对赛程进行评价，首先根据题目所给的附录1（2008-2009赛程安排）统计出东南区球队和中部区球队比赛3场和东南区球队和中部区球队比赛3场的安排表，见表3.2

表7 魔术 奇才 老鹰 山猫 热火 凯尔特人 4 3 4 3 4 猛龙 4 3 4 4 3 76人 3 4 3 4 4 篮网 3 4 4 3 4 尼克斯 4 4 3 4 3 活塞 3 4 3 4 4 骑士 3 4 4 3 4 步行者 4 3 4 4 3 14

公牛 4 4 3 3 4 雄鹿 4 3 4 4 3 根据结果容易计算出东南区的每个球队对大西洋区和中部区每个球队赛3场的实力差之和z2=3.156。

z?z2= 4.758-3.156=1.602>0

显然2008-2009赛程计算出来的值小于利用0-1规划计算所得的值，所以在考虑到观赏性和公平性的角度下，利用0-1规划计算所得的结果显得更为合理。

六.模型的评价

优点：赛程对球队的利弊影响的稳定性是不确定的，具有模糊性。本文讨论了赛

程对球队的利弊影响的主要因素并进行了定量分析，使用隶属函数对影响因素进行赋权处理，能够较好的反映赛程对球队的利弊影响的实际情况，是一种实际可行的方法，值得推广应用。 缺点：在讨论确定赛程对球队的利弊影响的主要因素时有一定的局限性和一定的

主观性。

七．参考文献

[1] NBA赛程的安排表[OL]. http://china.nba.com/nbaindex.html. [2] 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2025. [3] 姜启源，数学模型［Ｍ］，北京：高等教育出版社，2003. [4] 谢金星，薛毅，优化建模与LIODO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005. [5] 拉克唐瓦尔德，数值方法和MATLAB实现与应用，北京：机械工业出版社，2004．

附录2

NBA赛程的分析与评价

摘要

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，而一个完整、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常重要的事情。在本题中，我们通过建立数学模型对2008-2009新赛季常规赛的赛程安排进行了定量的分析与评价。

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在问题一中，为了分析赛程对某一支球队的利弊，我们考虑到下列因素：（1）：比赛时间间隔的均匀度：由于比赛时间是一定的，每一支球队所要打比赛的总场数也是一定的。比赛分配越均匀，球员才有足够的时间来休息调整，而如果连续的打比赛或连续休息都不是好的选择。（2）计算“背靠背”的个数：连续两天打比赛是对球员极大的挑战，球员体能将有极大的消耗。（3）连续地遭遇强手：这样也会严重消耗球员的体能，使球队处于疲劳状态，影响下面的比赛。（4）连续的客场比赛。

而对以上四个因素的衡量，我们分别用（a）方差衡量时间间隔的均匀度：

?i2???xij?x?j?1m?12m?1,并在Matlab中实现（见附录 2）；(b)在Matlab中编程计算出

各球队“背靠背”总数S来衡量此因素（见附录 3）；（c）用连续函数来衡量连

?1?续遭遇强队的指标：?i??1????2?h?1?1?连续的客场之旅：?i??1????2?k?1khNih?1（见附录 4）；（d）同样用连续函数表示

Pik?1（见附录 5）。最后我们用层次分析法，通过

分析、计算及一致性检验给出四个因素的一个合理性数量指标，分别为：0.290771

0.305694 0.200367

0.203168，并且将这些因素转化为数学公式：

Yi?z1?Ai?10?z2?Bi?10?z3?Ci?z4?Di

在问题二中，我们根据第一问的计算结果对30个队进行利弊的总排序，顺序见表（8），从而找出赛程对魔术队最有利，对森林狼队最不利，并可以分析出此次赛程的安排对姚明所在的火箭队也不利。

对于问题三，我们通过对04—05，05—06?，08—09五年中，各球队的赛程安排进行分析，发现了NBA联盟对同部异区打三场或是四场比赛的安排是采取以五年为一个周期的特定模式来循环进行的,我们通过“钟盘”模型加以实现；同时我们另外给出了一种编排方法，得到的结果比NBA的实际编排结果均衡性更好、也易于实现。

关键词：综合评价模型 层次分析法 方差 矩阵变换

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