九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?11?p??思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

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类型二：an?1?an?思路1（递推法）：

f(n)

an?an?1?f(n?1)?an?2?f(n?2)?f(n?1)?an?3?f(n?3)?f(n?2)?f(n?1)?…?a1??f(n)。

i?1n?1思路2（叠加法）：an?an?1?f(n?1)，依次类推有：an?1?an?2?f(n?2)、

n?1an?2?an?3?f(n?3)、…、a2?a1?f(1)，将各式叠加并整理得an?a1??i?1f(n)，即

n?1an?a1??i?1f(n)。

例2 已知a1?1，an?an?1?n，求an。

解：方法1（递推法）：an?an?1?n?an?2?(n?1)?n?an?3?(n?2)?(n?1)?n?

n……?a1?[2?3?…?(n?2)?(n?1)?n]??i?1n?n(n?1)2。

方法2（叠加法）：an?an?1?n，依次类推有：an?1?an?2?n?1、an?2?an?3?n?2、…、

nnna2?a1?2，将各式叠加并整理得an?a1??i?2n，an?a1??i?2n??i?1n?n(n?1)2。

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类型三：an?1?思路1（递推法）：

f(n)?an

an?f(n?1)?an?1?f(n?1)?f(n?2)?an?2?f(n?1)?f(n?2)?f(n?3)?an?3?…

?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。

思路2（叠乘法）：

anan?1a2a1?f(n?1)，依次类推有：

an?1an?2ana1?f(n?2)、

an?2an?3?f(n?3)、…、?f(1)，将各式叠乘并整理得?f(1)?f(2)?f(3)?…

?f(n?2)?f(n?1)，即an?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。

例3 已知a1?1，an?an?1，求an。

n?1n?1n?1n?2n?1n?2n?3an?1??an?2???an?3?… 解：方法1（递推法）：an?n?1n?1nn?1nn?1n?1?2n(n?1)。

方法2（叠乘法）：anan?1?n?1n?1ana1，依次类推有：an?1an?2?n?2n、an?2an?3?n?3n?1、…、a3a2?24、

a2a1?13，将各式叠乘并整理得?21n?1n?2n?3???…??，即

43n?1nn?1an?n?1n?2n?3212???…???。 n?1nn?143n(n?1)

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类型四：an?1?pan?qan?1

思路（特征根法）：为了方便，我们先假定a1?m、a2?n。递推式对应的特征方程?p?为x2?px?q，当特征方程有两个相等实根时， an??cn?d?????2?n?1(c、d为待定系

数，可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程有两个不等实根时x1、x2时，

an?ex1n?1?fx2n?1(e、f为待定系数，可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程的根

为虚根时数列?an?的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4 已知a1?2、a2?3,an?1?6an?1?an,求an。

解：递推式对应的特征方程为x2??x?6即x2?x?6?0，解得x1?2、x2??3。

n?1n?1设an?ex1?fx2，而a1?2、a2?3，即

9?e???e?f?29n?11?5n?1a??2??(?3)。 ，解得，即??n55?2e?3f?3?f?1?5?

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