四川省遂宁市第二中学2020届高三上学期高考模拟(二)数学(理)试卷 Word版含答案

………..10分 可得：

vvuuuuuuuuvm?DMvcos

分

所以直线DM与平面ABM所成角的正弦值为

42． ………..12分 7

20. （本小题满分12分）抛物线x?8y的焦点为F，过点P(1,2)的直线l与抛物线交于，过M,N分别作抛物线的切线l1,l2与x轴的交于M,N两点（M,N不为抛物线的顶点）

2B,C，l1,l2交点为A.

（Ⅰ）求证：当l变化时，经过A,B,C三点的圆过定点； （Ⅱ）求线段FA长度的最小值. 解：（Ⅰ）设M?x1,??12??12?x1?,N?x2,x2? 8??8?x1x12xl1:y?(x?x1)?，令y?0，得B点坐标B(1,0) …………2分

482kAB?kFB?2?0x1?4???????1，FB?AB x14??x1?0?2同理FC?AC …………4分

经过A,B,C三点的圆过焦点F. …………6分 （Ⅱ）设直线l:y?k(x?1)?2

联立直线与抛物线x?8kx?(8k?16)?0 则x1?x2?8k，x1x2?8k?16 …………8分

2?x1x12x1?x2?y?(x?x)?x?1????248设A?x,y?，由? 得?，

2?y?x1x2?y?x2(x?x)?x22??8?48??x?4k，消去k得，x?4y?8?0 …………10分 ?y?k?2?点A在定直线x?4y?8?0上.

线段FA长度的最小值为点F到直线x?4y?8?0的距离，

线段FA长度的最小值为1617. …………12分 17

21. (本小题满分12分) 已知函数f(x)?ln(1?x)?x(1??x).

1?x（Ⅰ）若x?0时，f(x)?0，求?的取值范围； （Ⅱ）证明：

1111111.?n?N?? ??L??ln2???L??n?1n?22nn?1n?22n4n解：（Ⅰ）注意到f(0)?0，f?(x)?x(1?2???x)，x?0............1分

(1?x)2' 若??0，则当x??0,???时，f(x)?0，所以f(x)?f?0??0；..........2分

若0???若??

11'，则当0?x??2时，f(x)?0，所以f(x)?0；..........4分 2?1

，则当x?0时，f?(x)?0，所以f(x)?f?0??0. 2

?1?2??故?的取值范围是?,???...............6分

?1?x?1?x?x2??ln?1?x???（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，x?0..............8分 1?x1?x令x?1得： k1?1?1??1k?1k?1111?11?2k???ln????????.........1k?1kk?12kk?1k?12kk?1????1?k......10分

2n?12n?11k?12n?1?11?11???ln???????k?12?kk?1?? k?1k???k?nk?nk?n?1111111..............12分 ??L??ln2???L??n?1n?22nn?1n?22n4n22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x?2cos?,（?为参数），已知点Q(4,0)，

?y?2sin?,点P是曲线C1上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求点M的轨迹C2的极坐标方程；

（Ⅱ）已知直线l：y?kx与曲线C2交于A,B两点，若OA?3AB，求k的值. 解：（Ⅰ）设P所以

uuuvuuuv?2cos?,2sin??，M?x,y?.且点Q?4,0?，由点M为PQ的中点，

2cos??4?x??2?cos?,??2 ?2sin??y??sin?,?2? ……3分

整理得?x?2??y2?1.即x化为极坐标方程为

22?y2?4x?3?0，

?2?4?cos??3?0. ……5分

（Ⅱ）设直线l：y?kx的极坐标方程为???.设A因为OA?3AB，所以4OA?3OB，即

uuuvuuuvuuuvuuuv??1,??，B??2,??，

4?1?3?2. ……6分

??2?4?cos??3?0,联立?整理得

???,??2?4cos????3?0. ……7分

??1??2?4cos?,??1?2?3,则?解得?4??3?,12?7. ……9分 811522?1?所以k?tan??，则cos2?49cos??k??15. ……10分 723.（本小题满分10分）已知a?0,b?0,c?0.若函数f?x??x?a?x?b?c的最

小值为2.

（Ⅰ）求a?b?c的值；

（Ⅱ）证明:

1119??? a?bb?cc?a4解：（Ⅰ）∵f?x??x?a?x?b?c??x?a???x?b??c?a?b?c

当且仅当?a?x?b时,等号成立, …………3分

∴ f?x?的最小值为a?b?c,∴a?b?c?2. …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, a?b?c?2,且a,b,c都是正数,

所以

111111?9?1?????a?b?b?c?c?a???????????? ?a?bb?cc?a4?a?bb?cc?a?4 …………9分

当且仅当a?b?c?1时,取等号,所以

1119???得证 …………10分 a?bb?cc?a4