2017-2018版高中数学第三章变化率与导数章末复习课学案北师大版选修1-1

1．自由落体的物体在t＝4 s时的瞬时速度是指( ) A．在第4秒末的速度 B．在第4秒始的速度

C．在第3秒至第4秒的平均速度

D．在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度 2．已知函数f(x)＝x2，则f′(2)等于( ) A．16＋ln 2 C．8＋16ln 2

32xB．16＋8ln 2 D．16＋16ln 2

3．若函数y＝f(x)＝x，且f′(a)＝3，则a等于( ) A．1 C．±1

B．－1 D．不存在

1

4．若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.

2

5．已知P，Q为抛物线x＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．

1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用． 2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．

3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．

2

答案精析

知识梳理 知识点一

1．瞬时变化率 f′(x0) lim Δx→0

fx0＋Δx－fx0

Δx2．切线的斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 知识点二

f′(x) 导数

知识点三

αxα－1 cos x －sin x axln a ex －2

xln axcos2xsinx知识点四

1111

f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

题型探究

Δy例1 解 y′＝Δlim x→0Δx＝Δlim x→0＝Δlim x→0

fx＋Δx－fx

Δxx＋Δx2

Δx＋1－x＋1

2

2

2

＝Δlim x→0

Δx[＝Δlim x→0＝

2x·Δx＋Δxx＋Δx2x＋Δx2

2

＋1＋x＋1]

x＋Δx 2

＋1＋x＋1

x. x2＋1

s5＋Δt－s5

＝s′(5)，

Δt跟踪训练1 解 ∵Δlim x→02又s′(t)＝1－2，

t∴Δlim x→0

s5＋Δt－s5

＝s′(5)

Δt223＝1－＝.

2525

Δyf例2 B [过点(2，f(2))和点(3，f(3))的割线的斜率k＝＝

Δx＝f(3)－f(2)，

又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知0

3－f2

3－2

y－2＝ax，

由题意知x＝－2时，y＝0，可得a＝1.] 例3 解 (1)y′＝(x－ln x＋a＋π)′ ＝(x)′－(ln x)′＋(a)′＋π′ 1x＝2x－＋aln a.

2

2

xxx343

(2)y′＝(3x＋4x)′ 343

＝(3x)′＋(4x)′ 43

＝(3·x)′＋(4·x)′

3211

＝4x＋6x

323

＝4x＋6x.

(3)因为y＝(x＋3x＋2)(x＋3) ＝x＋6x＋11x＋6， 所以y′＝3x＋12x＋11. (4)y′＝?＝

2

3

2

2

x??cos 2?′ ?x?

2

cos x′·x－cos x·x2′

x4

2

－sin x·x－cos x·2x＝4

x ＝－

xsin x＋2cos x. x3

31

跟踪训练3 解 (1)∵y＝3x－x＋5－9x－，

22

∴y′＝???3x32???′－x′＋5′－???9x－12???′ ＝9192x2－1＋2x－3

2 ＝92x?

??1＋1x2???

－1. 2

2

(2)∵y＝cos 2xcossin x＋cos x＝x－sinxcos x＋sin x＝cos x－sin x，

∴y′＝(cos x－sin x)′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x. 例4 解 因为f(x)＝a2x2

， 所以f′(x)＝2a2

x， 令f′(x)＝2a2

x＝1， 得x＝112a2，此时y＝4a2， 则点?

?1?2a2，14a2??

?

到直线x－y－3＝0的距离为2，

|11

2－2即2＝2a4a－3|2，

解得a＝15

2或10

.

跟踪训练4 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2

＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧

AOB上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由

图知点P在x轴上方，y＝x，y′＝12x，

由题意知k1

AB＝2.

∴k1

l＝

2x＝1

，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1)． 02当堂训练

1．A 2.D 3.C 4.ln 2－1 5.－4