2017-2018版高中数学第三章变化率与导数章末复习课学案北师大版选修1-1

第三章 变化率与导数

学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．

知识点一 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的________________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作Δy________________，即f′(x0)＝Δlim ＝________________________. x→0Δx2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处____________，在点P处的切线方程为________________________． 知识点二 导函数

如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为________，f′(x)→0 ＝liΔxm

fx＋Δx－fx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，

Δx通常也简称为________．

知识点三 基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)＝c(c是常数) f(x)＝xα(α为实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，a≠1) f(x)＝ln x f(x)＝tan x f(x)＝cot x 知识点四 导数的运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 和的导数 差的导数 f′(x)＝0 f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ [f(x)＋g(x)]′＝________________ [f(x)－g(x)]′＝________________ 积的导数 商的导数 [f(x)g(x)]′＝________________ ?fx?′＝f′xgx－fxg′x ?gx?g2x??

类型一 利用导数的定义解题

例1 利用导数的定义求函数y＝x＋1的导数．

反思与感悟 (1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx趋于0的方式，函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比趋于一个固定的值． Δyf即＝Δlim Δxx→0

2

x0＋Δx－fx0

.

Δx(2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形． 2s→0 跟踪训练1 已知s(t)＝t＋，求liΔtm

t5＋Δt－s5

.

Δt

类型二 导数的几何意义

例2 函数y＝f(x)的图像如图，下列数值的排序正确的是( ) A．0

反思与感悟 导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，

应注意：

(1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标；

(2)切点既在曲线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标；

(3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要方法．

跟踪训练2 已知函数f(x)＝x－3x＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.则a的值是________． 类型三 导数的计算 例3 求下列函数的导数： (1)y＝x－ln x＋a＋π； 343

(2)y＝3x＋4x； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； cos x(4)y＝2. 2

3

2

xx

反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点 (1)熟练掌握公式：

熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则． (2)注意灵活化简：

当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导． 跟踪训练3 求下列函数的导数：

3x－xx＋5x－9cos 2x(1)y＝；(2)y＝.

sin x＋cos xx

类型四 导数的综合应用

例4 设函数f(x)＝ax(a>0)，若函数y＝f(x)图像上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为2，求a的值．

反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

跟踪训练4 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．

2

22

2