北京理工大学理论物理导论作业第一章

6.为什么把微观粒子波动性叫物质波或者几率波

微观粒子是物质，具有典型的粒子间相互作用，但是它的运动又有波动性，运动过程中有波典型的干涉衍射现象，但是又没有波的可叠加性，没有物质的可分割性，而且出现在空间某处的几率一定，所以说是物质波或者是几率波。

7.微观粒子的波粒二象性等于经典粒子性加经典波动性吗

微观粒子波粒二象性不等于经典粒子性加经典波动性。首先微观粒子不具有经典物理意义下的粒子性，它不可进一步分割，即使分割，也不是原来的粒子，并且微观粒子不遵守牛顿定律，没有确切的运动轨道。其次微观粒子的波动性也不是经典物理意义下的波动性，因为物质波并不代表实际物理量的的波动，没有物理量的迭加起伏，物质波的波动性是“几率波”的迭加，不与实验可测量的物理量有必然联系。例如电子，电子作为微观客体有它自己的本性，它并不是经典意义下的粒子，只不过是在和物质相互作用时呈现出粒子性，它也不是经典意义下的波，只不过是在传播过程中，具有干涉，衍射这类波的性质。

10.求解薛定谔方程的过程中，微观粒子的能量取量子化值的结论是人为规定的吗

不是。在一维无限深势阱中，能量取量子化是由于波函数的连续性，在|x|=a处几率为零算出的能量取量子化的值。在一维谐振子中，能量取量子化的值是由于在无限处几率有限得出的。 14 (1)

???? ?? ?? ????=???? ??2???2??????

?∞

0

∞

?

2

∞

令ξ=2λx

???? ????

02

∞

2

?2??

??2∞2???

????=3 ????????

8??0

??2??2??2=3?? 3 =3×2!=3 8??8??4??由归一化定义

??? ?? ?? ?? ????=1

?∞∞

A=2??3/2

得

（2）粒子的几率密度

P x =??? ?? ?? ?? ????=4??3??2???2????

(3)在极值点，由一阶导数

????(??)

=0 ????可得方程

x 1?λx ???2????=0

而方程的根

1

x=0; x=∞; x=;

??即为极值点几率密度在极值点的值

1

P 0 =0; lim?? ?? =0; ?? =4?????2

??→∞??所以最大值出现的地方在x=1/λ处。 15 （1）

????????=?? ???????

?∞

∞

?∞

∞

?

2

∞

2??2

????

=2??2 ???????

02

2??2

????

2??∞???2= ??????

??0

??2 ??=

??由归一化的定义

?????????=1

?∞∞

得

??A= ?? 2）

?? = ???? ?? ????=?? ???????

?∞

?∞

∞

2

∞

2??2

????

因为被积函数是奇函数，在对称区间上积分应是0，故

?? =0

3）

= ?? ?? ?? ?? ???? ??

?∞∞

=

12?????2??2

?????????? 2?? ?∞???? ????

??2?????

0∞∞

2??2

∞

==

??2 ?? ??2?????????

0

2

=

将k=μ??2、??2=

?????

?? 4??2代入

11 ??=?ω=??0

42是总能量的一半，由能量守恒定律

+?? ??0=??

可知动能平均值

1

=??0??? =??0=?? ??

2和势能平均值相等，也是总能量的一半。 17

?2′′1

??? ?? + ????2??2??????? ?? ?? =????(??) 2??2?2′′12????2??2??2??? ?? +???? ??? = ??+ ?? ?? 2??2????22????2做代换??1=???

????????2 ,????=??+

??2??22????2, 方程化为标准的一维谐振子方程

?2′′1

??? ??1 +????2??12=?????? ?? 2??2其解为

???? ??1 =??????2??能量为

1

??????= +?? ???

2代换回去

1??2??2

E= +?? ???? 22????2波函数 ???? ?? =??????

122

????12

122

??1

????(????1)

????(????1), ??1=???????2

????

谐振子所受的力

F=

F=0可知

??=

代换??1=???????2之后，显然与标准谐振子的力函数表达式完全一样。

????

???? ??

=????2??1 ???????? ????2