求函数的最值问题1

求可化为y?x?a?b型函数的最值

x对于求函数y?x??b(a?0,a、b均为常数)的最值，当x?0时，可利用均

ax值.我们利用函数单调性定义或导数知识可知该函数在(??,?a]与[a,??)上为

ax值不等式求其最值，当条件不具备时，可利用函数y?x??b的单调性求最增函数，在[?a,0)与该数学模型渗透在多种求函数的最值（0，a]上为减函数，

问题之中，在高考题中较为多见，下面提供几例，从中我们可以看出求函数最值的一些方法技巧.

1、代数问题：

例1 [1999年全国高考题]若正数a,b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是 . a?3，则 a?1a2?3a44ab??a?4??a?1??5,

a?1a?1a?1a?3又由a,b为正数，b?,所以a?1,

a?144?5?9, ∴a?1??5≥2(a?1)a?1a?14当且仅当a?1?,即a?3时取等号，

a?1所以应填[9,??).

解：由ab?a?b?3,得b?x2?2x?a,x?[1,??). 例2 [2000年上海高考题]已知函数f(x)?x1(1) 当a?时，求函数f(x)的最小值

2(2) 若对任意x?[1,??)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围. 1解：(1)当a?时，f(x)?x?2?2,易证函数在[1,??)上为增函数，当x?1时，

x211f(x)有最小值f(1)?1??2?3.

221(2) 解略.

2、几何问题

例3 已知定点P(6,4)，直线l1:y?4x,过点P的直线l与l1交于第一家限Q点，且与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小时的直线l的方程.

解：设M(t,0),则t>5,

直线l:4x?(6?t)y?4t?0,它与直线l1交点Q的纵坐标为yQ=OQM的面积:

4t，从而△t?514t2t250S?t???2(t?5)??20≥40,

2t?5t?5t?550当2(t?5)?，即t=10时取等号，

t?5所以，△OQM的面积的最小值为40，此时直线l的方程为

x?y?10?0

例4 [2000年上海春季高考题]如图所示，点A、F分别是椭圆

(y?1)2(x?1)2??1的一个顶点和一个焦点，位于x轴正半轴上的动点T(t,0)与1612点F的连线交射线OA于点Q.

求（1）点A、F的坐标及直线TQ的方程； （2）求△OTQ的面积S与t的函数关系式 S?f(t)及该函数的最小值，

(3)写出S?f(t)的单调区间，并证明之.

解:(1) A(1,3),F(1,1),直线TQ的方程为y?(2)先求点Q的纵坐标yQ

?y?3x?y?3x?∵? x?t或?x?1y???1?t?3t∴yQ?(t?1)，或yQ=3.

3t?2∵t?0,且yQ>1，

y A Q F x x?t,或x?1 1?tO T 23t>0，得t>，且t?1， 3t?233t22113t∴△OTQ的面积S=|QT|yQ=t，即S?(t>，且t?1)，

2(3t?2)223t?23∴

3t2133? 当yQ=3时，S=×1×3=，而t?1时，

2(3t?2)2223t23t22144

∴S?f(t)?(t>),f(t)??[(3t?2)??4]≥3 ,

2(3t?2)2(3t?2)633t?244当3t?2?,即t?时取“=”号，

33t?244所以,当t?时，f(t)有最小值 .

33（3）解略

3．三角问题 例5 求函数y?3sin??(??(0,))的最大值.

23sin2??1解：∵ ??(0,)， ∴sin??(0,1)，

2

1

?3313sin????，

3sin2??13sin??1232sin?31当3sin??，即sin??时取“=”号，

3sin?331∴当sin??，即??arcsin时，ymax?.

332sin2x?3cosx?4例6 求函数y?的值域.

cosx?2?cos2x?3cosx?31解:y???(2?cosx)?1

cosx?22?cosx1令t?2?cosx,则t?[1,3],y?t??1,

t1∵y?t??1在[1,3]上是增函数,

t7∴当t?1时,ymin?1,当t?3时,ymax?.

37所以，该函数的值域为[1,].

3y?4．函数应用题

例7 [1997年全国高考题]甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本由可变部分 和固定部分组成；可变部分与速度vkm/h的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.

I． 把全程运输成本y元表示为速度vkm/h 的函数,并指出这个函数的

定义域；

II． 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

S，全程运输成本为vaaSSy=a+bv2=S(+bv),故所求函数及其定义域为y=S(bv+),v?(0,c].

vvvvaaⅡ.依题意知S、a、b、v都为正数，故有S(+bv)≥2Sab.当且仅当=bv,即

vvav?时，上式取等号.

b解Ⅰ.汽车从甲地匀速至乙地所用时间为

若若

a?c,则当v?ba时，全程运输成本y最小； baaa?c,则当v?(0,c]时，有y=S(bv+)=Sb(v?)在(0,c]上为减函数. bvbv∴当v?c时，全程运输成本最小.

2

综上知，为使全程运输成本y最小，当

v?c.

ab≤c时，v?babab;当?c时, bb例8 [1998年全国高考题]如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造

一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).

解：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y?的常数.

由已知，有4b?2ab?2a?60(a?0,b?0),

k，其中k为大于0abB 30?a得b?(0?a?30).

2?ab kkkk

∴y?=≥ , ?2182 64ab30a?a34?(a?2?)a a?22?a64当a?2?，即a?6时，上式取等号，y最小，

a?230?a当a?6时，b??3.

2?a所以，当a为6米，b为3米时，经沉淀后的水中杂质的质量分数最小

A 类题：（2001年全国高考题）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2画面的宽与高的比为?(??1)，画面的上、下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求??[,]，那么?为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

答案：(1)高88cm,宽55cm. (2)??.

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