2010年兰州市高三诊断考试试卷数学（理科）第一次[1]

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（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME

?ABCD是正方形，∴ E是BD的中点 ?M是SD的中点，∴ME是?DSB的中位线

∴ME//SB 又∵ME?平面ACM， SB?平面ACM，

∴SB//平面ACM． （Ⅱ）由题可得，CD?平面SAD，所以有CD?AM，又SD?AM ∴AM?平面SCD，∴?ACM为直线AC与平面SDC所成的角

在Rt?AMC中，

AM?12SD?AD22，AC?2AD

?ACM?∴

??6，即直线AC于平面SDC所成的角为6

（Ⅲ）∵AM?平面SCD

∴?NMC为二面角N?AM?C的一个平面角 ?10分 且AM?SC，又AN?SC

∴SC?平面AMN ∴SC?MN. 在Rt?MNC中

CM?CD2?MD2?6AD2，

CD?SM?SCAD?2AD62?AD63AD

?Rt?SNM∽Rt?SDC ∴

MN?6ADMN16cos?NMC???CM36AD2∴

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∴二面角N?AM?C的大小为

arccos13

解法二：依题意有AD∥BC，所以

?MAD??4

所以点M是SD的中点，且AM?SD

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O?xyz，由SA?AB 故设AB?AD?AS?1 则

11D(1,0,0),S(0,0,1),M(,0,)A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),22

11E(,,0)（Ⅰ）连结BD交AC于E，则22

zS ???????11SB?(0,1,?1),ME?(0,,?)22 ∵

????1???ME?SB2∴

N M A B ???????∴SB∥ME

∴SB//平面ACM ????6分

D yx（Ⅱ）由题可得，CD?平面SAD，所以有CD?AM 又SD?AM ∴AM?平面SCD

C ?????∴AM为平面SCD的一个法向量

??????????????????AM?AC1??????cos?AM,AC??????|AM|?|AC|2 ∴

???????????AM,AC??3 ∴

?∴直线AC于平面SDC所成的角为2??3??6

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（Ⅲ）∵AM?平面SCD ∴AM?SC，又AN?SC

???? ∴SC?平面AMN ∴SC?(1,1,?1)为平面AMN的一个法向量。

????????n?AM?0?x?z?0????????n?AC?0x?y?0， ?n?(x,y,z)设平面AMC的一个法向量为，则? 即??????????n?SC1??????cos?n,SC????z?y??1n|n|?|SC|3 x?1令，则即?(1,?1,?1) ∴

∴二面角N?AM?C的大小为

arccos13

科目/年级：数学 12 年级

题型/标签：解答题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点：

易错： （用“#”表示）

x2y26己知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，过点A(0,?b)和B(a,0)的直线到原点

ab3的距离为

3． 2（1）求椭圆的方程；

（2）若直线y?kx?2(k?0)与椭圆交于C、D两点．问：是否存在常数k，使得以

CD为直径的圆过坐标原点？若存在，求出k，若不存在，请说明理由．

答案

解析：解：（Ⅰ）直线AB方程为：bx?ay?ab?0

?c6，??3?a??a?3，3?ab??22?2b?1依题意?a?b 解得 ?

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x2?y2?1∴ 椭圆方程为 3

（Ⅱ）假设存在这样的k，

?y?kx?2，?222x?3y?3?0(1?3k)x2?12kx?9?0 ?由 得

22??(12k)?36(1?3k)?0 ① 则

12k?x?x??，122??1?3k??x?x?9?121?3k2 设C(x1，y1)、D(x2，y2)，则? ②

y1y2???1xx 当且仅当OC?OD，即12时，以CD为直径的圆过原点O(0,0)，

即

y1y2?x1x2?0

2y?y?(kx?2)(kx?2)?kx1x2?2k(x1?x2)?4． 1212而

2(k?1)x1x2?2k(x1?x2)?4?0． ③ ∴

k?? 将②式代入③整理解得

3939k??3经验证，3，使①成立

k??综上可知，存在

393，使得以CD为直径的圆过原点O(0,0)

科目/年级：数学 12 年级

题型/标签：解答题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点：

易错： （用“#”表示）

已知f(x)?xlnx,g(x)?x?ax?x?2

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)在?t,t?2?(t?0)上的最小值；

（3）对一切的x??0,???,2f(x)?g(x)?2恒成立，求实数a的取值范围.

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答案

??解析：解：(Ⅰ)f(x)?lnx?1令f(x)?0解得

?令f(x)?0解得

x?0?x?11(0,)e∴f(x)的单调递减区间为e

11(,??)e ∴f(x)的单调递增区间为e 1e时，t无解

0?t?t?2?(Ⅱ) 当

0?t?当

1111?t?20?t?f(x)min?f()??ee时，∴ee； ，即

11?t?t?2t?e时，f(x)在[t,t?2]上单调递增， 当e，即

∴

f(x)min?f(t)?tlnt

1?1? 0?t???ee???tlnt t?1?e?

22f(x)min∴

(Ⅲ)由题意:2xlnx?3x?2ax?1?2即2xlnx?3x?2ax?1

∵x?(0,??) ∴

a?lnx?31x?22x

h(x)?lnx?设

31131(x?1)(3x?1)x?h?(x)???2??22x,则x22x2x2 x?1,x??13 (舍)

令h(x)?0,得

???当0?x?1时,h(x)?0；当x?1时,h(x)?0

∴当x?1时,h(x)取得最大值,

h(x)max??2∴a??2

故实数a的取值范围[?2,??)