08年 六年级 101分班考试班 第三讲 数论 教师版

学不可以已．青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水． —— 荀子 第三讲

数 论

真题模考

1.

(2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第7题)一个整数m(m≠1)，除219，270，338得到的余数相同，则这个整数m＝__________。

【分析】 219，270，338除以m得到的余数相同，那么他们两两的差就能被m整除。270-219=51，

338?270?68，338?219?119，m =[51，68，119]=17。

2. 如果2n－1能被31整除，那么自然数n应满足什么条件？

【分析】 31=11111(2)

2n?20000?0000（n个0）

2n?1?20000?0000(2)?1=10000?0000(2)（n个0）

2n－1能被31整除，那么n是5的倍数即可。

□□1??3. 在算式的每个括号内各填入一个数字(所填数字均选自1，2，3，??9)，要求□□□□所填的数字都是质数，并使得算式成立。

【分析】 在1，2，3，??，9中只有2，3，5，7为质数，根据分母的特性，可知结果的分母为两分数

321的最小公倍数，那么只能为5，7。可得到：??。

7535 4.

5位数2x9y1是某个自然数的平方，则4x?7y? .

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学不可以已．青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水． —— 荀子

【分析】 2x9y1是一个自然数的平方，那么这个自然数的末位只能为1或9。 1402<2x9y1<1802 得1612=25921 x=5，y=2，那么4x+7y=34 5.

从1，3，5，7，?。97，99，101中最多可以选出n个数，使得选出的这n个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n=_______

【分析】 1，3，5，??，101这些数中，35?101这34个数中，每个数都不是另一个数的倍数。因为1，

3，5，??，101都可以写成3a?t的形式（其中a是0或自然数，t是不能被3整除的自然数）

由于1，3，5，??，101有17个不能被3整除的数，剩下51-17=34个数不是3的倍数。所以t的值有34种，所以n?34

6.

【分析】 设这个三位数为abc，根据题意的：

abc=19×（a?b?c），因为a?b?c≤29，所以114≤abc≤513

所以19×6=114最小，19×15=285最大 7. (北京市一零一中学计算机培训班六年级04～05学年一学期第三次随堂测试第10题)

① (101)2?(1011)2?(11011)2?___________ ② 567?(　　　）8?(　　　）5?(　　　）2； ）））③ (110001112?(101012?(112?(　　　）2； （3021）（605） ④ 4?7? ( )10；

(2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第21题)

一个三位数等于它的各位数字之和的19倍，问这样的三位数最大是________，最小是______.

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学不可以已．青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水． —— 荀子 ⑤若(1030)n?140，则n＝____________。

【分析】 ① (101)2?(1011)2?(11011)2?（111002）

② 567?(1067）））8?(42325?(10001101112；

③ (11000111））））2?(101012?(112?(110000002； （3021）（605） ④ 4?7? (500 )10；

⑤ 若(1030)n?140，则n=（5） 8.

【分析】 2007=1023+1024=21?22?23????210 a1+a2+?+an=1+2+3+??+10=55 9.

(85)n?8?n?5 (7)n?7 【分析】

2007=2a1?2a2?2a3?....?2an，其

a1，a2，?an为两两不等的自然数，则a1+a2+?an= .

(北京市一零一中学计算机培训班六年级04～05学年一学期第三次随堂测试第9题)(85)N是(7)N的11倍，则(338)N＝____________。

根据题意得：8?n?5?7 n=9 338n?3?92?3?9?8?278 10.

【分析】 最大公约数必定为 540?22?33?5 的约数。但公约数不可能为5，否则两个三位数的末尾数应

该为0或5。因此最大的公约数可以考虑 22?33?108，为了“凑”到108，考虑因子4，末两位分别令其为24，56，之后考虑9构造结果324，756。答案：108

家家学教育 考点拓展 六年级 101分班考试班 第三讲 教师版 Page 3 of 7 用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A,B，那么A、B、540这三个数的最大公约

数最大可能是多少.

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【例1】 在568后面补上三个数字，组成一个六位数。此六位数能分别被3，5，8整除，那么这样的六

位数中最小的是_______

【分析】 根据题意可知这个六位数最小时568000，能同时被3，5，8整除，也就能被[3，5，8]=120，

568000?120=4733??40，那么568000+（120-40）=568080，就能被3，5，8同时整除。

【例2】 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______

【分析】 设这个自然数为a，则101个连续自然数的和为： a+（a+1）+（a+2）+??+（a+100）

=（a+a+100）×101?2 =（a+50）×101

因为101是质数，所以a+50必须是3个质数的乘积，要是和最小。

那么a+50=66=2×3×11，所以和最小为66×101=6666。

??化成最简分数后，分子有 种不【例3】 设?,b,c是0～9的数字(允许相同)，将循环小数0.abc同情况.

??=0.abc【分析】

abc,显然只要abc与999互质，就构成了最简分数，所以最简分数的分子可以是所有小999?999999999???于999且与999互质的数，这样的数一共有999????648个.如果abc与9993373?37??不互质，那么abc的质因数当中，如果质因数3不多于3个，质因数37多于1个，那么

abc约999分后是分子还是与999互质的数（已被统计过）；如果abc的质因数当中，如果质因数3多于3个，质因数37多于1个（这种情况肯定没有因为37的平方大于999）, 质因数3多于3个，

999?37，所以凡是不大于2737的分子都可能有它的27倍约分而来，其中的3、6、9、??、36这12个数都是可能的分子.所以一共有648+12=660个

那么约分过程当中，分子分母至少约掉27，所剩下的分子不会大于

【例4】 (2002年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题二试解答题第5题)1

01中学的老师和和学生到圆明园参加植树活动，在圆明园的一条笔直马路的一边共家家学教育 六年级 101分班考试班 第三讲 教师版 Page 4 of 7