高中数学竞赛讲座：圆

圆 基础知识

如果没有圆，平面几何将黯然失色．

圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．

圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础．

本部分着重研究下面几个问题： 1．角的相等及其和、差、倍、分； 2．线段的相等及其和、差、倍、分； 3．二直线的平行、垂直； 4．线段的比例式或等积式； 5．直线与圆相切；

6．竞赛数学中几何命题的等价性．

命题分析

例1．已知A为平面上两个半径不等的⊙O1和⊙O2的一个交点，两圆的外公切线分别为P1P2,Q1Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点，求证：?O1AO2??M1AM2．

例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形．

例3．延长AB至D，以AD为直径作半圆，圆心为H，G是半圆上一点，?ABG为锐角．E在线段BH上，Z在半圆上，EZ∥BG，且EH?ED?EZ，BT∥HZ．求证：?TBG?21?ABG． 3例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等． 例5．设?A是△ABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧，U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点，线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T．证明：AU?TB?TC．

例6．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H，在EF与GH上分别作⊙O切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．

例7．⊙O1和⊙O2与△ABC的三边所在直线都相切，E,F,G,H为切点，并且

⌒⌒EG,FH的延长线交于点P．求证：直线PA与BC垂直．

例8．在圆中，两条弦AB,CD相交于E点，M为弦AB上严格在E、B之间的点．过

D,E,M的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F,G．已知

AMCE?t，求（用t表ABEF示）．

例9．设点D和E是△ABC的边BC上的两点，使得?BAD??CAE．又设M和N1111???． MBMDNCNE例10．设△ABC满足?A?90?，?B??C，过A作△ABC外接圆W的切线，交直线BC于D，设A关于直线BC的对称点为E，由A到BE所作垂线的垂足为X，AX的中点为Y，BY交W于Z点，证明直线BD为△ADZ外接圆的切线．

分别是△ABD、△ACE的内切圆与BC的切点．求证：

例11．两个圆?1和?2被包含在圆?内，且分别现圆?相切于两个不同的点M和N．?1经过?2的圆心．经过?1和?2的两个交点的直线与?相交于点A和B，直线MA和直线MB分别与?1相交于点C和D．求证：CD与?2相切．

例12．已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点．求证：OM?MN的充要条件是S、N、T三点共线．

例13．在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，⊙O1过A、B且与边CD相切于点P，⊙O2过C、D且与边AB相切于点Q．⊙O1和⊙O2相交于E、F，求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC∥AD．

例14．设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，且两对边AB与CD不平行．点P为线段AB与CD的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：A、B、C、

D四点共圆的充要条件为S?PAB?S?PCD．

训练题

1．△ABC内接于⊙O，?BAC?90?，过B、C两点⊙O的切线交于P，M为BC的中点，求证：（1）

AM?cos?BAC；（2）?BAM??PAC． AP⌒⌒⌒CA,AB的中点，2．已知A?,B?,C?分别是△ABC外接圆上不包含A,B,C的弧BC，BC分别和C?A?、A?B?相交于M、N两点，CA分别和A?B?、B?C?相交于P、Q两点，AB分别和B?C?、C?A?相交于R、S两点．求证：MN?PQ?RS的充要条件是△ABC为等边三角形．

3．以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、CA分别 交于点D和E，过D、E作

BC的垂线，垂足分别为F、G．线段DG、EF交于点M．求证：AM?BC．

4．在△ABC中，已知?B内的旁切圆与CA相切于D，?C内的旁切圆与AB相切于E，过DE和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分△ABC的周长，且与?A的平分线平行．

5．在△ABC中，已知，过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F．在BC边上取点P使得3BP?BC．求证：?BFP?1?B． 26．半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C,D，交AB于M（MB?MA,MC?MD）．设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外之另一交点．求证：?MKO为直角 ．

7．已知，AD是锐角△ABC的角平分线，?BAC??，?ADC??，且

2co?s?cos?．求证：AD2?BD?DC．

8．M为△ABC的边AB上任一点，r1,r2,r分别为△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径；?1,?2,?分别为这三个三角形的旁切圆半径（在?ACB内部）．

求证：

r1?1?2?r2?r?．

9．设D是△ABC的边BC上的一个内点，AD交△ABC外接圆于X，P、Q是X分别到AB和AC的垂足，O是直径为XD的圆．证明：PQ与⊙O相切当且仅当

AB?AC．

10．若AB是圆的弦，M是AB的中点，过M任意作弦CD和EF，连CD,DE分别交AB于X,Y，则MX?MY．

11．设H为△ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的一点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与BR交于X．证明：EX∥AP．

12．在△ABC中，?C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于D和K，I是内切圆圆心．证明：（1）

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